ワイブル分布 確率密度・累積確率 計算機｜k・λ・x から6値を同時算出

形状母数 k、尺度母数 λ、評価点 x を入れるだけで、ワイブル分布の確率密度 f(x)、累積確率 F(x)、平均、中央値、最頻値、標準偏差の6値を1画面で表示。信頼性工学の寿命予測や風速分布の解析に。

💡 形状母数 k が故障パターンを決める

ワイブル分布は、製品の故障までの時間や風速のばらつきをモデル化する連続確率分布。最大の特徴は形状母数 k 一つで分布の形がまったく変わること。

k<1 のとき故障率は時間とともに減少し、初期故障期（製造不良が早期に出る期間）を表す。k=1 で故障率が一定の偶発故障期となり、このとき分布は指数分布に退化する。k>1 で故障率が増加し、摩耗・劣化による故障期を示す。この3段階を時系列に並べたものが信頼性工学で言うバスタブ曲線。

尺度母数 λ は分布を横に引き伸ばす係数で、特性寿命とも呼ばれる。F(λ) はつねに約63.2% になり、「全体の63.2% が故障する時間」という直感的な目安になる。

この計算機は k を 0.05〜20、λ を 0.01〜1000、x を 0〜10000 の範囲で受け付け、k や λ に0以下を入れた場合は自動で下限にクランプする。値を変えるたびに6値が更新されるので、形状母数を動かして分布形状の変化を確認しながら試せる。

🧐 よくある質問

k と β、λ と η は同じもの？ 記号の流儀の違い。信頼性工学では形状母数を β、尺度母数を η（イータ、特性寿命）と書く文献が多い。本計算機の k が β、λ が η に対応する。

平均はどう計算している？ 平均は λ·Γ(1+1/k) で求まる。Γ はガンマ関数で、本計算機は Numerical Recipes の Lanczos 近似による対数ガンマ（lgamma）から算出する。標準偏差も同じガンマ関数を使い √(λ²·(Γ(1+2/k) − Γ(1+1/k)²)) で求める。

最頻値が0になるのはなぜ？ 最頻値 λ·((k−1)/k)^(1/k) は k>1 のときだけ定義される。k≤1 では分布のピークが x=0 にあるため、最頻値は0として表示する。

x=0 を入れると確率密度が「∞」になる k<1 のとき f(0) は発散するため ∞ と表示する。k=1 では 1/λ、k>1 では0になる。CDF は x=0 でつねに0。

k を大きくすると正規分布に近づく？ k≈3.5 付近でワイブル分布は左右対称に近い形になり、正規分布によく似た見た目になる。ただし完全な正規分布ではない。

📚 ワイブル確率紙とバスタブ曲線

実務では、過去の故障記録をワイブル確率紙という特殊な目盛りの方眼紙にプロットし、点が直線に乗るかどうかでワイブル分布への当てはまりを判定してきた。直線の傾きから形状母数を読み取る手法で、表計算ソフトが普及する前から使われてきた古典的なグラフ解析法。

バスタブ曲線は、製品ライフサイクルを初期故障期・偶発故障期・摩耗故障期の3段階で捉える信頼性工学の基本モデル。それぞれが k<1、k=1、k>1 のワイブル分布に対応する。保証期間の設定や予防保全のタイミング判断は、この曲線のどの位置にいるかを見極めることから始まる。風速分布の解析では形状母数がおおむね2前後になることが多く、このとき平均風速から発電量を見積もる計算に直結する。