Calculateur de probabilité de Weibull | Six valeurs depuis k, λ et x
Saisis la forme k, l'échelle λ et le point d'évaluation x pour lire la PDF f(x), la CDF F(x), la moyenne, la médiane, le mode et l'écart-type de la loi de Weibull dans un seul panneau. Conçu pour la fiabilité et les modèles de vent.
💡 Le paramètre de forme k commande tout
La loi de Weibull est une loi de probabilité continue qui modélise les durées de vie et d'autres grandeurs positives comme la vitesse du vent. Sa particularité : un seul paramètre de forme k change entièrement l'allure de la courbe.
Quand k<1, le taux de défaillance décroît avec le temps, ce qui correspond aux défaillances précoces dues aux défauts de fabrication. À k=1, le taux de défaillance est constant et la loi se réduit à la loi exponentielle. Quand k>1, le taux augmente et traduit l'usure. Mises bout à bout, ces trois phases dessinent la courbe en baignoire de la fiabilité.
Le paramètre d'échelle λ étire la courbe horizontalement et porte le nom de vie caractéristique : F(λ) vaut toujours environ 63,2%, donc λ est l'instant où environ 63,2% de la population a défailli.
Le calculateur accepte k de 0,05 à 20, λ de 0,01 à 1000 et x de 0 à 10000, et ramène toute valeur de k ou λ non positive à la borne inférieure. Chaque saisie recalcule les six valeurs.
🧐 Questions fréquentes
k et β, ou λ et η, est-ce la même chose ? Ce ne sont que des notations différentes. En fiabilité, le paramètre de forme s'écrit souvent β et l'échelle η (êta, la vie caractéristique). Ici, k correspond à β et λ à η. En énergie éolienne, on note plutôt le facteur d'échelle c : il joue le même rôle que λ.
Comment la moyenne est-elle calculée ? La moyenne vaut λ·Γ(1+1/k), où Γ est la fonction gamma. L'outil l'évalue à partir d'une approximation log-gamma de Lanczos. L'écart-type utilise la même fonction gamma : √(λ²·(Γ(1+2/k) − Γ(1+1/k)²)).
Pourquoi le mode affiche-t-il 0 ? Le mode λ·((k−1)/k)^(1/k) n'existe que pour k>1. Si k≤1, le sommet de la densité est en x=0, donc le mode est affiché à 0.
Avec x=0, la PDF affiche « ∞ » Pour k<1, f(0) diverge et s'affiche ∞. À k=1 elle vaut 1/λ, et à k>1 elle vaut 0. La CDF est toujours nulle en x=0.
📚 La loi de Weibull et l'éolien
En énergie éolienne, la loi de Weibull est l'outil standard pour décrire la distribution des vitesses de vent sur un site. On y note souvent les paramètres k (forme) et c (échelle) ; estimer ces deux coefficients caractérise le régime de vent sur une période donnée et permet d'en déduire la production d'un parc éolien. Le paramètre de forme renseigne sur la dispersion : un k plus faible signale des vitesses plus dispersées. Sur la plupart des sites, k tourne autour de 2.
Côté fiabilité, la même loi structure la courbe en baignoire, qui découpe la vie d'un produit en défaillances précoces, défaillances aléatoires et usure (k<1, k=1, k>1). Choisir une durée de garantie ou planifier la maintenance préventive revient à situer un composant sur cette courbe, et c'est le paramètre de forme qui le dit. Faire varier k dans le calculateur et regarder bouger la moyenne et l'écart-type rend cette lecture concrète.