3D ベクトル計算機｜大きさ・正規化・内積・外積・なす角を一括算出

2 つの 3 次元ベクトル A=(x, y, z) と B=(x, y, z) を入れるだけで、各ベクトルの大きさ、単位ベクトル、内積 A·B、外積 A×B、なす角 θ° を 1 画面で並べて表示。桁数は 2〜8 桁で切り替え可能。

💡 このツールについて

ベクトルの問題で詰まる原因の多くは、計算自体ではなく「演算ごとに別の計算機を開く手間」と「成分の写し間違い」。大きさは大きさ計算機、内積は内積計算機、外積はまた別…と往復しているうちに、どこかで符号を取り違えてしまう。

このツールは、その 5 演算を 1 つの入力から同時に出します。A と B の成分を一度入れれば、|A|・|B|、正規化した単位ベクトル Â・B̂、内積、外積とその大きさ |A×B|、そしてなす角がすべて並びます。外積の大きさは 2 ベクトルが張る平行四辺形の面積と一致するため、面積や法線方向の確認にもそのまま使えます。

ゲーム開発で当たり判定の法線を求めたい、物理の課題で力の成分を分解したい、線形代数を学び始めて手計算の答え合わせをしたい——いずれの場面でも、桁数を上げれば検算用の高精度値、下げれば見やすい概算値が一目で得られます。

🧐 よくある質問

内積と外積はどう違いますか？ 内積 A·B はスカラー（ただの数値）で、2 ベクトルがどれだけ同じ向きを向いているかを表します。外積 A×B はベクトルで、A と B の両方に垂直な方向を指します。内積は角度や射影、外積は法線方向や面積を求めるときに使います。

なす角が「N/A」と出るのはなぜですか？ どちらかがゼロベクトル（大きさ 0）のときは角度が定義できないため N/A になります。ゼロベクトルには向きが存在せず、cos θ = (A·B)/(|A||B|) の分母が 0 になってしまうからです。

内積が 0 になると何が分かりますか？ 2 つのベクトルが直交（90 度）していることを意味します。なす角の欄が 90.00° になるはずなので、垂直かどうかの判定に使えます。

単位ベクトルとは何ですか？ 向きはそのままで大きさを 1 にしたベクトルです。Â = A / |A| で求まり、方向だけを扱いたいとき（移動方向、法線の正規化など）に使います。

桁数はどの場面で変えますか？ 答え合わせや誤差確認には 6〜8 桁、ノートに書き写すときや概算には 2〜4 桁が見やすくなります。入力値はそのままで表示精度だけが切り替わります。

📚 外積と平行四辺形の面積

外積の大きさ |A×B| は、A と B が張る平行四辺形の面積にちょうど等しくなります。これは |A×B| = |A||B|sin θ という関係から導かれ、三角形の面積ならこの半分です。3DCG や測量で「3 点が作る面の面積」を求めるとき、この性質が使われます。

外積はベクトル積とも呼ばれ、3 次元（と 7 次元）でしか定義できない少し特殊な演算です。2 次元では向きを持つ垂直方向が平面の外にしか取れないため、スカラー量として扱うのが一般的。右手の親指・人差し指・中指の向きで A×B の方向を覚える「右手の法則」は、物理でローレンツ力やトルクを考えるときの定番です。