Calculadora de Vetores 3D | Magnitude, Vetor Unitário, Produto Escalar, Vetorial e Ângulo

Insira dois vetores 3D A=(x, y, z) e B=(x, y, z) e veja as magnitudes, os vetores unitários, o produto escalar A·B, o produto vetorial A×B com |A×B| e o ângulo θ° de uma só vez. Ajuste a precisão de 2 a 8 casas decimais.

💡 Sobre esta ferramenta

No estudo de geometria analítica, a dificuldade raramente está em uma fórmula isolada, e sim em encadear várias operações sem perder o controle das componentes. Você calcula a magnitude em uma página, o produto escalar em outra e o ângulo em uma terceira, e é no vai e vem de copiar coordenadas que um sinal acaba trocado.

Esta ferramenta resolve as cinco operações a partir de uma única entrada. Você digita A e B uma vez e aparecem |A| e |B|, os vetores unitários  e B̂, o produto escalar, o produto vetorial com sua magnitude |A×B| e o ângulo entre eles. Como |A×B| é igual à área do paralelogramo formado pelos dois vetores, o mesmo número também serve para conferir áreas.

Para revisar ou conferir um exercício, aumente a precisão para 6 ou 8 casas e verifique um cálculo detalhado, ou reduza para 2 ao anotar um valor arredondado. O valor digitado não muda; apenas a quantidade de casas exibidas é que se altera.

🧐 Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre produto escalar e produto vetorial? O produto escalar A·B é um número (um escalar) que mede o quanto dois vetores estão alinhados. O produto vetorial A×B é um vetor perpendicular a A e a B. O escalar serve para ângulos e projeções; o vetorial, para normais e áreas.

Por que o ângulo aparece como "N/A"? Se um dos vetores for o vetor nulo (magnitude 0), o ângulo fica indefinido. Um vetor nulo não tem direção, então o denominador de cos θ = (A·B)/(|A||B|) vira 0 e o cálculo não é possível.

O que significa um produto escalar igual a 0? Que os dois vetores são ortogonais, ou seja, perpendiculares a exatamente 90°. O campo do ângulo deve mostrar 90.00°, então um produto escalar nulo é um teste rápido de perpendicularidade.

O que é um vetor unitário? É um vetor com a mesma direção, mas magnitude 1, calculado por  = A / |A|. Ele é usado quando só importa a direção, e não o comprimento, como em normais ou direções de movimento.

Mudar as casas decimais altera o resultado? Não. O seletor muda apenas quantos dígitos são exibidos. Use 6 ou 8 casas para uma verificação detalhada e 2 ou 4 para um valor mais legível.

📚 O produto escalar e a ortogonalidade

Uma das propriedades mais práticas do produto escalar é esta: se A·B = 0 e nenhum dos vetores é nulo, então eles formam um ângulo reto. Por isso, antes de calcular um ângulo completo com arco cosseno, muitos cálculos verificam primeiro se o produto escalar se anula — é a maneira mais econômica de detectar perpendicularidade.

O sinal do produto escalar também indica a orientação: positivo, os vetores apontam para sentidos próximos (ângulo menor que 90°); negativo, para sentidos opostos (ângulo maior que 90°). Já o produto vetorial só está definido em R³ e R⁷, e sua magnitude |A×B| = |A||B|sin θ corresponde à área do paralelogramo gerado pelos dois vetores, uma ponte elegante entre a álgebra e a geometria.