Calculateur de Vecteurs 3D | Norme, Vecteur Unitaire, Produit Scalaire, Vectoriel et Angle

Saisissez deux vecteurs 3D A=(x, y, z) et B=(x, y, z) pour obtenir les normes, les vecteurs unitaires, le produit scalaire A·B, le produit vectoriel A×B avec |A×B| et l'angle θ° en une seule vue. Réglez la précision de 2 à 8 décimales.

💡 À propos de cet outil

En géométrie dans l'espace, la difficulté tient rarement à une seule formule : elle vient du fait d'enchaîner plusieurs opérations sans se tromper de composante. On calcule la norme sur une page, le produit scalaire sur une autre, puis l'angle ailleurs, et c'est en recopiant les coordonnées qu'un signe finit par sauter.

Cet outil traite les cinq opérations à partir d'une seule saisie. Vous entrez A et B une fois et vous obtenez |A| et |B|, les vecteurs unitaires  et B̂, le produit scalaire, le produit vectoriel avec sa norme |A×B|, ainsi que l'angle entre les deux. Comme |A×B| est égal à l'aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs, ce même nombre sert aussi à vérifier une aire.

Pour réviser ou contrôler un exercice, montez la précision à 6 ou 8 décimales afin de vérifier un calcul détaillé, ou descendez à 2 pour noter une valeur arrondie. La valeur saisie reste identique ; seul le nombre de décimales affichées change.

🧐 Questions fréquentes

Quelle est la différence entre le produit scalaire et le produit vectoriel ? Le produit scalaire A·B est un nombre (un scalaire) qui mesure l'alignement de deux vecteurs. Le produit vectoriel A×B est un vecteur perpendiculaire à A et à B. Le scalaire sert aux angles et aux projections, le vectoriel aux normales et aux aires.

Pourquoi l'angle affiche-t-il « N/A » ? Si l'un des vecteurs est le vecteur nul (norme 0), l'angle n'est pas défini. Un vecteur nul n'a pas de direction, donc le dénominateur de cos θ = (A·B)/(|A||B|) devient 0 et le calcul est impossible.

Que signifie un produit scalaire égal à 0 ? Les deux vecteurs sont orthogonaux, c'est-à-dire perpendiculaires à exactement 90°. Le champ de l'angle devrait indiquer 90.00°, ce qui fait du produit scalaire nul un test rapide d'orthogonalité.

Qu'est-ce qu'un vecteur unitaire ? C'est un vecteur de même direction mais de norme 1, calculé par  = A / |A|. On l'utilise lorsque seule la direction compte, et non la longueur, comme pour une normale ou une direction de déplacement.

Changer le nombre de décimales modifie-t-il le résultat ? Non. Le sélecteur ne change que le nombre de chiffres affichés. Utilisez 6 ou 8 décimales pour une vérification fine et 2 ou 4 pour une valeur plus lisible.

📚 Le produit scalaire comme test d'orthogonalité

Une propriété très utile du produit scalaire : si A·B = 0 et qu'aucun vecteur n'est nul, les deux vecteurs sont forcément orthogonaux. C'est pourquoi, avant de calculer un angle complet avec un arccosinus, on commence souvent par vérifier si le produit scalaire s'annule — c'est la façon la plus économique de détecter un angle droit.

Le signe du produit scalaire renseigne aussi sur l'orientation : positif, les vecteurs pointent dans des sens proches (angle inférieur à 90°) ; négatif, dans des sens opposés (angle supérieur à 90°). Le produit vectoriel, lui, n'est défini qu'en dimension 3 (et 7), et sa norme |A×B| = |A||B|sin θ correspond à l'aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs, un pont élégant entre algèbre et géométrie.