ポアソン分布確率計算機｜λとkからPMF・CDF・生存関数をワンビュー算出

平均発生率 λ と観測回数 k を入れると、ちょうど k 回となる確率（PMF）、k 回以下の累積確率（CDF）、k 回以上の生存確率を同時に表示します。平均・分散・標準偏差・最頻値の統計量も同じ画面にまとまるので、件数の閾値判定や設計値の見積もりにそのまま使えます。

💡 このツールについて

ポアソン分布は「一定時間・一定空間でランダムに起こる事象が何回発生するか」を表す離散確率分布です。コールセンターの 1 時間あたり着信数、サーバーの 1 日あたり障害件数、交差点の事故件数のように、平均レート λ がわかっている事象の発生回数をモデル化します。

手計算では PMF の式 e^(-λ)·λ^k/k! に階乗が入るため、k が大きいと電卓が桁あふれを起こしがちです。このツールは対数ガンマ関数（Lanczos 近似）を経由して確率を求めるので、λ が 1000、k が 2000 まで桁あふれせずに計算できます。さらに CDF と生存関数を別々に出すため、「ちょうど k 回」と「k 回以上」を取り違えるミスも防げます。

SRE や SLO 設計では「バースト的なアクセスが想定件数を超える確率」を見積もる場面が多く、平均件数 λ と監視で観測した k から超過確率を読み取る用途に向いています。品質管理の不良率検定や、待ち行列理論の到着過程の確認にも使えます。

🧐 よくある質問

PMF と CDF はどう違いますか。 PMF はちょうど k 回起こる確率 P(X = k)、CDF は k 回以下になる累積確率 P(X ≤ k) です。生存関数 P(X ≥ k) は「k 回以上」を表し、CDF とは別の区間を指します。

なぜ平均と分散がどちらも λ になるのですか。 ポアソン分布の数学的な性質で、期待値 E[X] = λ、分散 V(X) = λ が成り立ちます。標準偏差はその平方根 √λ です。平均と分散が一致するかどうかは、データがポアソン分布に従うかの簡易チェックにも使われます。

最頻値はどう決まりますか。 λ が整数でない場合、最頻値は ⌊λ⌋（λ の整数部分）になります。最も起こりやすい発生回数の目安として表示しています。

λ に小数を入れてもよいですか。 構いません。λ は 0.01 から 1000 の範囲で小数を受け付けます。k は 0 から 2000 の整数で入力してください。

二項分布とは何が違いますか。 二項分布は試行回数 n が有限で成功確率 p が決まっている場合の分布です。n が大きく p が小さいとき、λ = np としたポアソン分布が二項分布の近似になります。

📚 ポアソン分布の豆知識

ポアソン分布の名は、19 世紀フランスの数学者シメオン・ドニ・ポアソンに由来します。日本の統計教育では、確率分布の入門で二項分布の次に学ぶ定番分布として扱われ、品質管理（QC）の世界では製品ロットあたりの欠陥数のモデルとして長く使われてきました。

実務での代表例として知られるのが「単位時間あたりにランダムに到着する件数」のモデル化です。たとえばある街で 1 年間に雪が降る日数が平均 20 日とすると、その期待値と分散はともに 20 になります。平均と分散が等しいというポアソン分布の特徴を、身近な例で確かめられます。