Calculateur de Probabilité de la Loi de Poisson | PMF, CDF et survie à partir de λ et k
Saisissez le taux moyen λ et un nombre observé k pour obtenir la probabilité d'exactement k événements (PMF), d'au plus k événements (CDF) et d'au moins k événements (survie) sur un seul écran. La moyenne, la variance, l'écart-type et le mode s'affichent à côté pour dimensionner un seuil sans recourir à une table.
💡 À propos de cet outil
La loi de Poisson modélise le nombre d'occurrences d'un événement aléatoire sur un intervalle fixe de temps ou d'espace, lorsque le taux moyen λ est connu et que les événements sont indépendants. On l'emploie pour des appels reçus par heure, des pannes par jour ou des arrivées à un guichet.
À la main, la formule e^(-λ)·λ^k/k! fait intervenir une factorielle qui déborde dès que k devient grand. Cet outil passe par la fonction log-gamma (approximation de Lanczos), ce qui garantit la stabilité numérique jusqu'à λ = 1000 et k = 2000, sans renvoyer de valeur infinie. Il distingue aussi la CDF de la survie, afin d'éviter de confondre « exactement k », « au plus k » et « au moins k ».
Pour réviser ou enseigner, voir la PMF, la CDF et les trois statistiques côte à côte aide à relier la formule au graphique en barres et à la courbe en escalier décrits dans les cours classiques de probabilité.
🧐 Questions fréquentes
Quelle est la différence entre la PMF et la CDF ? La PMF donne la probabilité d'exactement k événements, P(X = k). La CDF donne la probabilité cumulée d'au plus k événements, P(X ≤ k). La survie, P(X ≥ k), couvre k ou plus et correspond à une plage différente.
Pourquoi la moyenne et la variance sont-elles égales à λ ? C'est une propriété de la loi de Poisson : E[X] = λ et V(X) = λ, avec un écart-type de √λ. Vérifier si moyenne et variance sont proches sert de test rapide pour savoir si des données suivent une loi de Poisson.
Comment le mode est-il déterminé ? Lorsque λ n'est pas entier, le mode vaut ⌊λ⌋, la partie entière de λ. Il indique le nombre d'occurrences le plus probable.
Puis-je saisir λ avec des décimales ? Oui. λ accepte des décimales de 0,01 à 1000. Le nombre k doit être un entier compris entre 0 et 2000.
Quel lien avec la loi binomiale ? Pour une loi binomiale avec un grand nombre d'essais n et une faible probabilité p, la loi de Poisson de paramètre λ = np en donne une bonne approximation. D'où son surnom de loi des événements rares.
📚 Le saviez-vous
La loi porte le nom de Siméon Denis Poisson, mathématicien français qui la formalisa en 1837 dans une étude sur les jugements en matière criminelle. Elle figure aujourd'hui parmi les lois discrètes de référence dans tous les manuels de probabilité.
Un exemple concret aide à fixer les idées : avec λ = 5 et k = 3, on obtient P(X = 3) = (e^(-5) × 5^3) / 3! ≈ 0,1404, soit environ 14 %. C'est exactement le type de calcul que cet outil restitue, accompagné de la probabilité cumulée et de la survie pour situer cette valeur dans l'ensemble de la distribution.