Calculadora de Probabilidad de la Distribución de Poisson | PMF, CDF y supervivencia desde λ y k
Introduce la tasa media λ y un número observado k para obtener la probabilidad de exactamente k eventos (PMF), de como máximo k eventos (CDF) y de al menos k eventos (supervivencia) en una sola vista. La media, la varianza, la desviación típica y la moda aparecen al lado para estimar un umbral sin recurrir a tablas.
💡 Sobre esta herramienta
La distribución de Poisson modela cuántas veces ocurre un evento aleatorio en un intervalo fijo de tiempo o espacio cuando la tasa media λ es conocida y los eventos son independientes. Algunos ejemplos clásicos: el número de clientes que llegan a una cafetería por hora, los correos recibidos en un periodo o los avistamientos en un santuario de fauna.
Si lo calculas a mano con e^(-λ)·λ^k/k!, el factorial se desborda en cuanto k crece. Esta herramienta trabaja con la función log-gamma (aproximación de Lanczos), por lo que se mantiene estable hasta λ = 1000 y k = 2000 sin devolver valores infinitos. Además separa la CDF de la supervivencia, lo que evita confundir "exactamente k", "como máximo k" y "al menos k".
Para quien estudia estadística, ver la PMF, la CDF y los tres estadísticos juntos ayuda a entender la fórmula paso a paso en lugar de memorizarla. Cada cambio de λ o k actualiza los resultados, así que puedes explorar cómo se desplaza la distribución.
🧐 Preguntas Frecuentes
¿Qué diferencia hay entre la PMF y la CDF? La PMF da la probabilidad de exactamente k eventos, P(X = k). La CDF da la probabilidad acumulada de como máximo k eventos, P(X ≤ k). La supervivencia, P(X ≥ k), cubre k o más y es un rango distinto.
¿Por qué la media y la varianza son iguales a λ? Es una propiedad de la distribución de Poisson: E[X] = λ y V(X) = λ, con desviación típica √λ. Por ejemplo, si una cafetería recibe en promedio 5 clientes por hora, tanto la media como la varianza valen 5.
¿Cómo se determina la moda? Cuando λ no es entero, la moda es ⌊λ⌋, la parte entera de λ. Indica el recuento más probable.
¿Puedo introducir λ con decimales? Sí. λ admite decimales entre 0,01 y 1000. El número k debe ser un entero entre 0 y 2000.
¿Qué relación tiene con la distribución binomial? Cuando una binomial tiene muchos ensayos n y una probabilidad p pequeña, la Poisson con λ = np la aproxima muy bien. Por eso se la conoce como la ley de los sucesos raros.
📚 Datos Curiosos
La distribución debe su nombre a Siméon Denis Poisson, matemático francés del siglo XIX. Es uno de los pilares de la probabilidad discreta y, junto a la distribución binomial, suele ser una de las primeras que se estudian en cualquier curso introductorio de estadística.
Un ejemplo concreto ayuda a fijar la idea: si una persona recibe en promedio 3 correos por hora, en un periodo de 2 horas la tasa pasa a ser λ = 3 × 2 = 6, porque λ escala de forma proporcional al tamaño del intervalo. Calcular la probabilidad de recibir exactamente 6 correos en esas 2 horas es el caso de uso directo de la PMF.