Calculadora de Probabilidade da Distribuição de Poisson | PMF, CDF e sobrevivência a partir de λ e k

Insira a taxa média λ e uma contagem observada k para obter a probabilidade de exatamente k eventos (PMF), de no máximo k eventos (CDF) e de pelo menos k eventos (sobrevivência) em uma única tela. Média, variância, desvio padrão e moda aparecem ao lado, para dimensionar um limite sem consultar tabelas.

💡 Sobre esta ferramenta

A distribuição de Poisson modela quantas vezes um evento aleatório ocorre em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando a taxa média λ é conhecida e os eventos são independentes. Casos típicos no dia a dia: chamadas recebidas por hora em um call center, defeitos por lote de produção e número de acidentes em um cruzamento por mês.

Feito à mão, o fatorial em e^(-λ)·λ^k/k! estoura a calculadora assim que k cresce. Esta ferramenta calcula pela função log-gama (aproximação de Lanczos), mantendo a estabilidade numérica até λ = 1000 e k = 2000 sem retornar valores infinitos. Ela também separa a CDF da sobrevivência, o que evita confundir "exatamente k", "no máximo k" e "pelo menos k".

A distribuição vale quando os eventos são independentes, a taxa λ é constante no intervalo e dois eventos não ocorrem exatamente ao mesmo tempo. Se essas condições valem, basta inserir λ e k para ler a probabilidade e os estatísticos de uma vez.

🧐 Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre PMF e CDF? A PMF dá a probabilidade de exatamente k eventos, P(X = k). A CDF dá a probabilidade acumulada de no máximo k eventos, P(X ≤ k). A sobrevivência, P(X ≥ k), cobre k ou mais e é uma faixa diferente.

Por que a média e a variância são iguais a λ? É uma propriedade da distribuição de Poisson: E[X] = λ e V(X) = λ, com desvio padrão √λ. Verificar se média e variância estão próximas é um teste rápido para saber se os dados seguem Poisson.

Como a moda é determinada? Quando λ não é inteiro, a moda é ⌊λ⌋, a parte inteira de λ. Ela marca a contagem mais provável.

Posso inserir λ com casas decimais? Sim. λ aceita decimais de 0,01 a 1000. A contagem k deve ser um inteiro de 0 a 2000.

Qual a relação com a distribuição binomial? Para uma binomial com muitos ensaios n e probabilidade p pequena, a Poisson com λ = np oferece uma boa aproximação. Por isso ela é chamada de lei dos eventos raros.

📚 Curiosidades

A distribuição leva o nome de Siméon Denis Poisson, matemático francês do século XIX, e é um dos pilares da probabilidade discreta ensinada em qualquer curso de estatística.

Na prática de tecnologia e operações, ela aparece o tempo todo: número de falhas de um servidor por dia, chamadas por hora e novos casos de uma doença rara por região são todos modelados por Poisson. Como a variância é igual a λ, o desvio padrão é √λ, então a dispersão cresce mais devagar que a média — um detalhe que ajuda a interpretar a variação esperada em sistemas de alto volume.