二項分布 確率計算機｜n 回中 k 回成功する確率を一発算出

試行回数 n、成功確率 p、成功回数 k を入れるだけで、ちょうど k 回成功する確率 P(X=k)、k 回以下の累積確率 P(X≤k)、k 回以上の上側確率 P(X≥k)、さらに平均・分散・標準偏差・最頻値までまとめて表示。確率と統計量を 1 画面で見比べられる。

💡 このツールについて

「コインを 20 回投げてちょうど 10 回表が出る確率は?」「不良率 3% の部品を 100 個取って 5 個以上不良になる確率は?」——こうした「n 回の独立試行で k 回成功する」状況はすべて二項分布で扱える。手計算だと組み合わせ C(n,k) が n=50 を超えた途端に桁あふれして電卓が音を上げるが、このツールは対数ガンマ関数 (Lanczos 近似) で内部計算を対数空間に逃がしているため、n=1000 まで破綻せず確率を返す。

ちょうど k 回の PMF だけでなく、k 回以下の累積 P(X≤k) と k 回以上の上側 P(X≥k) を同時に出すのがポイント。品質管理の合格判定や A/B テストの有意性確認では「ちょうど」より「以上・以下」の確率が効くからだ。平均 np・分散 np(1-p) も併記するので、分布の中心と散らばりも一目で掴める。

🧐 よくある質問

Q. PMF と CDF の違いは? PMF P(X=k) は「ちょうど k 回」の確率、CDF P(X≤k) は「0 回から k 回まで」を足し上げた累積確率。上側 P(X≥k) は「k 回以上」で、P(X≥k) = 1 − P(X≤k−1) として計算している。

Q. 成功確率 p はスライダーでしか入れられない? p は 0 から 1 まで 0.01 刻みのスライダーで指定する。0.5 などキリのいい値はもちろん、0.03 のような小さな不良率も設定できる。

Q. k が n より大きいとどうなる? k は 0 以上 n 以下の整数に制限される。範囲外の値を入れるとエラー表示になり結果は出ない。物理的に「20 回中 25 回成功」はあり得ないからだ。

Q. 最頻値 (Mode) は何を表す? 最も出やすい成功回数で、⌊(n+1)p⌋ で求まる。n=20, p=0.5 なら 10 回が最頻値になる。

Q. p=0 や p=1 でも計算できる? できる。p=0 なら成功は必ず 0 回、p=1 なら必ず n 回になり、その点だけ確率 1、他は 0 となる。

📚 二項分布の豆知識

二項分布は 17 世紀のヤコブ・ベルヌーイによる「ベルヌーイ試行」の積み重ねとして定式化された、確率論で最も古典的な分布のひとつ。日本の高校では数学 A の「反復試行の確率」として登場するが、組み合わせの計算が重いため n が大きい問題は実質出題されない。実務では半導体の歩留まり検査やアンケートの賛成率推定など、二択の繰り返しがあるところに必ず顔を出す。n が大きく p が極端でなければ正規分布で、n が大きく p が極端に小さければポアソン分布で近似できるという橋渡しの性質も、統計を学ぶうえで外せない要点だ。