Calculadora de distribuição binomial | P(X=k) em n ensaios

Informe os ensaios n, a probabilidade de sucesso p e os sucessos k para obter a probabilidade exata P(X=k), a acumulada P(X≤k), a cauda superior P(X≥k) e ainda a média, a variância, o desvio padrão e a moda, tudo em uma única tela para comparar a probabilidade e a dispersão num relance.

💡 Sobre esta ferramenta

Sempre que você repete um ensaio independente do tipo sim/não — lançar uma moeda, inspecionar peças de uma linha, entrevistar eleitores — a contagem de "sucessos" segue uma distribuição binomial. O obstáculo é o coeficiente binomial C(n,k): assim que n passa de uns 50, os fatoriais estouram os limites de ponto flutuante e uma calculadora ingênua devolve Infinity. Esta ferramenta contorna isso calculando tudo pela função log-gama (aproximação de Lanczos) em espaço logarítmico, mantendo-se estável até n = 1000.

Ela não entrega apenas a probabilidade pontual: a PMF, a acumulada P(X≤k) e a cauda superior P(X≥k) aparecem juntas, que é exatamente o que se precisa numa amostragem de aceitação ou ao conferir um teste A/B, onde "pelo menos k" e "no máximo k" importam mais do que "exatamente k". A média np e a variância np(1−p) ficam ao lado, então o centro e a dispersão nunca exigem uma consulta separada.

🧐 Perguntas frequentes

Qual a diferença entre PMF e CDF? A PMF P(X=k) é a probabilidade de exatamente k sucessos. A CDF P(X≤k) soma a PMF de 0 até k. A cauda superior P(X≥k) é "k ou mais", calculada como 1 − P(X≤k−1).

Posso digitar a probabilidade p em vez de usar o controle deslizante? O controle define p de 0 a 1 em passos de 0,01, então você escolhe valores redondos como 0,5 ou taxas de defeito pequenas como 0,03.

O que acontece se k for maior que n? k fica restrito aos inteiros de 0 a n. Um valor fora da faixa exibe um aviso e não devolve resultado: não dá para ter 25 sucessos em 20 ensaios.

O que a moda indica? É o número de sucessos mais provável, ⌊(n+1)p⌋. Para n=20, p=0,5 a moda é 10.

Funciona com p=0 ou p=1? Sim. Com p=0 você sempre obtém 0 sucessos; com p=1 sempre obtém n. Toda a massa de probabilidade se concentra nesse único resultado.

📚 Como ler a binomial

A binomial se constrói como a soma de n ensaios de Bernoulli independentes (sucesso com probabilidade p, fracasso com 1−p); daí saem diretamente a média np e a variância np(1−p), sem nenhuma integral. Duas aproximações a tornam uma distribuição-ponte em qualquer curso: quando n é grande e p moderado, o teorema de De Moivre–Laplace a aproxima pela normal (base do teste de proporção); quando n é grande mas p muito pequeno, ela converge para a Poisson, razão pela qual contagens de eventos raros são tão modeladas como Poisson em vez de binomial.