Calculadora de distribución binomial | P(X=k) en n ensayos

Introduce los ensayos n, la probabilidad de éxito p y los éxitos k para obtener la probabilidad exacta P(X=k), la acumulada P(X≤k), la cola superior P(X≥k) y además la media, la varianza, la desviación estándar y la moda, todo en una sola pantalla para comparar la probabilidad y la dispersión de un vistazo.

💡 Sobre esta herramienta

Siempre que repites un ensayo independiente de tipo sí/no —lanzar una moneda, inspeccionar piezas de una línea, encuestar votantes— el recuento de "éxitos" sigue una distribución binomial. El obstáculo es el coeficiente binomial C(n,k): en cuanto n supera unos 50, los factoriales desbordan los límites de coma flotante y una calculadora ingenua devuelve Infinity. Esta herramienta lo evita calculando todo a través de la función log-gamma (aproximación de Lanczos) en espacio logarítmico, por lo que se mantiene estable hasta n = 1000.

No se limita a la probabilidad puntual: la PMF, la acumulada P(X≤k) y la cola superior P(X≥k) aparecen juntas, que es justo lo que necesitas en un muestreo de aceptación o al revisar una prueba A/B, donde "al menos k" y "como máximo k" pesan más que "exactamente k". La media np y la varianza np(1−p) se muestran al lado, así que el centro y la dispersión nunca son una consulta aparte.

🧐 Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre PMF y CDF? La PMF P(X=k) es la probabilidad de exactamente k éxitos. La CDF P(X≤k) suma la PMF desde 0 hasta k. La cola superior P(X≥k) es "k o más", calculada como 1 − P(X≤k−1).

¿Puedo escribir la probabilidad p en lugar de usar el deslizador? El deslizador fija p de 0 a 1 en pasos de 0,01, así que puedes elegir valores redondos como 0,5 o tasas de defecto pequeñas como 0,03.

¿Qué pasa si k es mayor que n? k se limita a los enteros de 0 a n. Un valor fuera de rango muestra un aviso y no devuelve resultado: no puede haber 25 éxitos en 20 ensayos.

¿Qué indica la moda? Es el número de éxitos más probable, ⌊(n+1)p⌋. Para n=20, p=0,5 la moda es 10.

¿Funciona con p=0 o p=1? Sí. Con p=0 siempre obtienes 0 éxitos; con p=1 siempre obtienes n. Toda la masa de probabilidad se concentra en ese único resultado.

📚 Cómo entender la binomial

Para estudiar la binomial conviene fijarse en cómo se construye: cada ensayo es una variable de Bernoulli (éxito con probabilidad p, fracaso con 1−p) y la suma de n ensayos independientes da la binomial. De ahí salen directamente la media np y la varianza np(1−p), sin integrales. Dos aproximaciones la convierten en una distribución puente clave en cualquier curso: cuando n es grande y p moderada, el teorema de De Moivre–Laplace la aproxima por la normal (la base del contraste de proporciones); cuando n es grande y p muy pequeña, converge a la Poisson, motivo por el que los recuentos de eventos raros se modelan tantas veces como Poisson en lugar de binomial.