Calculateur de loi binomiale | P(X=k) pour n essais
Saisissez les essais n, la probabilité de succès p et les succès k pour obtenir la probabilité exacte P(X=k), la cumulée P(X≤k), la queue supérieure P(X≥k), ainsi que la moyenne, la variance, l'écart-type et le mode, le tout sur un seul écran pour comparer la probabilité et la dispersion en un coup d'œil.
💡 À propos de cet outil
Dès que vous répétez une épreuve indépendante de type oui/non — lancer une pièce, contrôler des pièces sur une chaîne, interroger des électeurs — le nombre de « succès » suit une loi binomiale. L'obstacle est le coefficient binomial C(n,k) : dès que n dépasse une cinquantaine, les factorielles débordent les limites de la virgule flottante et une calculatrice naïve renvoie Infinity. Cet outil contourne le problème en calculant tout via la fonction log-gamma (approximation de Lanczos) en espace logarithmique, ce qui le maintient stable jusqu'à n = 1000.
Il ne se contente pas de la probabilité ponctuelle : la PMF, la cumulée P(X≤k) et la queue supérieure P(X≥k) s'affichent ensemble, ce qui correspond exactement aux besoins du contrôle de réception ou de la vérification d'un test A/B, où « au moins k » et « au plus k » comptent davantage que « exactement k ». La moyenne np et la variance np(1−p) figurent juste à côté, si bien que le centre et la dispersion ne demandent jamais une recherche séparée.
🧐 Questions fréquentes
Quelle est la différence entre la PMF et la CDF ? La PMF P(X=k) est la probabilité d'exactement k succès. La CDF P(X≤k) somme la PMF de 0 jusqu'à k. La queue supérieure P(X≥k) vaut « k ou plus », calculée comme 1 − P(X≤k−1).
Puis-je saisir la probabilité p plutôt que d'utiliser le curseur ? Le curseur règle p de 0 à 1 par pas de 0,01, ce qui permet des valeurs rondes comme 0,5 ou de petits taux de défaut comme 0,03.
Que se passe-t-il si k est supérieur à n ? k est limité aux entiers de 0 à n. Une valeur hors plage déclenche un message et n'affiche aucun résultat : on ne peut pas avoir 25 succès en 20 essais.
Qu'indique le mode ? C'est le nombre de succès le plus probable, ⌊(n+1)p⌋. Pour n=20, p=0,5 le mode vaut 10.
Gère-t-il p=0 ou p=1 ? Oui. Avec p=0 vous obtenez toujours 0 succès ; avec p=1 toujours n. Toute la masse de probabilité se concentre sur ce seul résultat.
📚 Bien lire la loi binomiale
La loi binomiale se construit comme la somme de n épreuves de Bernoulli indépendantes (succès de probabilité p, échec de probabilité 1−p) ; c'est de là que viennent directement la moyenne np et la variance np(1−p), sans aucune intégrale. Deux approximations en font une loi charnière dans tout cours de probabilités : quand n est grand et p modéré, le théorème de De Moivre–Laplace l'approche par la loi normale (socle du test sur une proportion) ; quand n est grand mais p très faible, elle converge vers la loi de Poisson, ce qui explique pourquoi on modélise si souvent les comptages d'événements rares par une loi de Poisson plutôt que binomiale.