Calculadora de probabilidad de distribución binomial negativa | PMF, CDF y supervivencia juntas

Introduce los éxitos objetivo r, la probabilidad de éxito p y los fracasos k para leer la PMF, la CDF y la probabilidad de supervivencia de la distribución binomial negativa NB(r, p), junto con media, varianza, desviación estándar y moda, todo en una sola pantalla. Admite r de 1 a 1000 y p de 0,01 a 0,99.

💡 Sobre esta herramienta

La distribución binomial negativa modela "cuántos fracasos ocurren antes del r-ésimo éxito" y aparece en ingeniería de fiabilidad, diseño de experimentos y planificación de pruebas A/B. Calcularla a mano es engorroso: el coeficiente binomial C(k+r-1, k) crece muy rápido y una calculadora de bolsillo se desborda cuando k+r supera unos cientos.

Esta herramienta evalúa el coeficiente en espacio logarítmico con una función log-gamma (aproximación de Lanczos), de modo que la PMF se mantiene precisa aunque k+r llegue a los miles, sin desbordamiento numérico. La PMF, la CDF y la supervivencia se muestran en tres tarjetas contiguas, así puedes mover el umbral k y leer "exactamente k fracasos", "como mucho k fracasos" y "k o más fracasos" de una sola vista.

Conviene fijar una convención: aquí k es el número de fracasos observados antes del r-ésimo éxito (la parametrización de SciPy / Wikipedia). Algunos libros definen k como el número de ensayo en el que ocurre el r-ésimo éxito, lo que cambia la fórmula. La nota bajo los campos indica cuál se usa.

🧐 Preguntas frecuentes

P. ¿En qué se diferencia de la distribución binomial? R. La binomial fija el número de ensayos y cuenta los éxitos; la binomial negativa fija el número de éxitos r y cuenta los fracasos. Las caras en cinco lanzamientos siguen una binomial; las cruces que salen mientras lanzas hasta obtener cinco caras siguen una binomial negativa.

P. ¿Qué ocurre cuando r = 1? R. Con r = 1 la binomial negativa se reduce a la distribución geométrica: fracasos antes del primer éxito. La binomial negativa es la geométrica generalizada a r éxitos.

P. ¿Para qué sirve la supervivencia P(X ≥ k)? R. Es la probabilidad de observar k o más fracasos antes de alcanzar r éxitos. Úsala para dimensionar el riesgo de que los fracasos superen un presupuesto, por ejemplo "¿qué probabilidad hay de gastar 20 o más intentos antes de lograr 5 aciertos?".

P. ¿Cuáles son las fórmulas de media y varianza? R. La media es r(1-p)/p, la varianza es r(1-p)/p² y la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Cuanto menor es p, mayores son tanto los fracasos esperados como la dispersión.

P. ¿Puedo introducir valores grandes de k? R. k va de 0 a 2000 y r de 1 a 1000. La CDF suma los términos de la PMF desde 0 hasta k, así que un k mayor solo implica más términos en la suma acumulada.

📚 Por qué se llama "negativa"

El término "negativa" viene del álgebra, no de los valores: la función generadora de probabilidad se expande en coeficientes binomiales con un exponente negativo, gracias al teorema del binomio generalizado de Newton, que extiende (a+b)^n a potencias no enteras y negativas.

Para quien estudia estadística, conviene ver la cadena de generalizaciones: la geométrica (un éxito) es un caso de la binomial negativa (r éxitos), y la binomial negativa surge como mezcla Poisson-gamma. Cuando datos de conteo tienen varianza mayor que su media (sobredispersión), un modelo de Poisson se queda corto y la binomial negativa lo reemplaza, porque al suponer que la tasa λ de Poisson sigue una distribución gamma y se integra, la distribución marginal resultante es exactamente binomial negativa.