Calculateur de probabilité de la loi binomiale négative | PMF, CDF et survie en un coup d'œil
Saisissez les succès cibles r, la probabilité de succès p et les échecs k pour lire la PMF, la CDF et la probabilité de survie de la loi binomiale négative NB(r, p), ainsi que la moyenne, la variance, l'écart-type et le mode, le tout sur un seul écran. Prend en charge r de 1 à 1000 et p de 0,01 à 0,99.
💡 À propos de cet outil
La loi binomiale négative modélise « combien d'échecs surviennent avant le r-ième succès », et elle revient sans cesse en ingénierie de la fiabilité, en plan d'expériences et en préparation de tests A/B. La calculer à la main est fastidieux : le coefficient binomial C(k+r-1, k) gonfle très vite et une calculatrice de poche déborde dès que k+r dépasse quelques centaines.
Cet outil évalue le coefficient en espace logarithmique grâce à une fonction log-gamma (approximation de Lanczos) ; la PMF reste donc exacte même lorsque k+r atteint les milliers, sans débordement numérique. PMF, CDF et survie occupent trois cartes côte à côte : vous déplacez le seuil k et lisez « exactement k échecs », « au plus k échecs » et « k échecs ou plus » d'un seul regard.
Une convention mérite d'être retenue : ici k désigne le nombre d'échecs observés avant le r-ième succès (la paramétrisation SciPy / Wikipédia). Certains manuels définissent plutôt k comme le numéro de l'essai où survient le r-ième succès, ce qui modifie la formule. La note sous les champs précise laquelle s'applique.
🧐 Questions fréquentes
Q. Quelle différence avec la loi binomiale ? R. La loi binomiale fixe le nombre d'essais et compte les succès ; la binomiale négative fixe le nombre de succès r et compte les échecs. Le nombre de faces sur cinq lancers suit une binomiale ; le nombre de piles obtenus en lançant jusqu'à cinq faces suit une binomiale négative.
Q. Que se passe-t-il quand r = 1 ? R. Avec r = 1, la binomiale négative se réduit à la loi géométrique : les échecs avant le premier succès. La binomiale négative est la loi géométrique généralisée à r succès.
Q. À quoi sert la survie P(X ≥ k) ? R. C'est la probabilité d'observer k échecs ou plus avant d'atteindre r succès. Utilisez-la pour évaluer le risque que les échecs dépassent un budget, par exemple « quelle chance d'épuiser 20 tentatives ou plus avant de réussir 5 fois ? ».
Q. Quelles sont les formules de la moyenne et de la variance ? R. La moyenne vaut r(1-p)/p, la variance r(1-p)/p² et l'écart-type est la racine carrée de la variance. Plus p est petit, plus les échecs attendus et la dispersion augmentent.
Q. Puis-je saisir de grandes valeurs de k ? R. k va de 0 à 2000 et r de 1 à 1000. La CDF additionne les termes de la PMF de 0 jusqu'à k, donc un k plus grand signifie simplement plus de termes dans la somme cumulée.
📚 D'où vient le « négatif »
Le mot « négative » vient de l'algèbre, pas des valeurs : la fonction génératrice des probabilités se développe en coefficients binomiaux à exposant négatif, grâce au théorème du binôme généralisé de Newton qui prolonge (a+b)^n aux puissances non entières et négatives.
Dans la pratique, cette loi est le modèle de référence pour la surdispersion. Quand des données de comptage présentent une variance supérieure à leur moyenne, un modèle de Poisson sous-ajuste et la binomiale négative prend le relais. La raison est élégante : si l'on suppose que le taux λ de Poisson suit lui-même une loi gamma et qu'on l'intègre, la loi marginale obtenue est exactement une binomiale négative — c'est pourquoi les mélanges Poisson-gamma et la régression binomiale négative décrivent la même idée sous deux angles.