Calculadora de probabilidad de distribución beta | PDF, CDF y 4 estadísticas
Introduce los parámetros de forma alpha y beta junto con un punto de evaluación x y obtén la densidad f(x), la probabilidad acumulada F(x), la media, la varianza, la moda y la desviación estándar de Beta(alpha, beta) en un solo panel.
💡 Sobre esta herramienta
La distribución beta está definida en el intervalo [0, 1], lo que la convierte en el modelo natural para probabilidades, proporciones y tasas. En estadística bayesiana aparece como la distribución a priori conjugada de la binomial: si partes de un prior Beta(alpha, beta) y observas s éxitos y f fracasos, la distribución a posteriori es simplemente Beta(alpha + s, beta + f).
Calcular la acumulada a mano es lo difícil, porque la función beta incompleta regularizada I_x(alpha, beta) no tiene forma cerrada. Esta calculadora la evalúa con una aproximación logarítmica de la función gamma (Lanczos) y una fracción continua, y devuelve seis estadísticas a la vez para que puedas variar alpha y beta y ver cómo cambia la forma de la curva mientras estudias.
🧐 Preguntas Frecuentes
¿Qué controlan alpha y beta? Alpha desplaza la masa de probabilidad hacia 1 y beta la desplaza hacia 0. La suma alpha + beta controla la concentración: cuanto mayor es la suma, más estrecho y puntiagudo es el pico alrededor de la media alpha / (alpha + beta).
¿Por qué la densidad f(x) puede ser mayor que 1? Una densidad no es una probabilidad. Solo el área bajo la curva integra a 1, así que una distribución concentrada en un intervalo estrecho puede tener una densidad superior a 1. El valor acotado entre 0 y 1 es la acumulada F(x).
¿Cómo interpreto esto como distribución a posteriori? Toma alpha como éxitos + 1 y beta como fracasos + 1 a partir de tu prior y tus datos. La media alpha / (alpha + beta) es tu estimación puntual de la tasa, y la dispersión de la curva indica cuánta certeza tienes.
¿Por qué la moda muestra a veces "0, 1" o "0-1"? La fórmula de la moda (alpha - 1) / (alpha + beta - 2) solo da un pico interior cuando alpha y beta superan 1. Si ambos son menores que 1 la masa se acumula en los extremos, y si alpha = beta = 1 la distribución es uniforme, así que la herramienta lo señala en lugar de mostrar un único valor engañoso.
¿Qué pasa si x queda fuera de 0 a 1? La distribución beta tiene densidad cero fuera de [0, 1], por lo que cualquier x fuera de rango se ajusta al extremo más cercano antes de calcular las estadísticas.
📚 Cómo la beta modela la incertidumbre de una proporción
Una idea útil para aprender la distribución beta es pensarla como "lo que sabemos sobre una proporción". Si una encuesta da 30 respuestas favorables de 50, no estás seguro al 60% exacto: tu conocimiento es Beta(31, 21), una curva con cierta anchura que refleja la incertidumbre del tamaño muestral.
A partir de los dos parámetros de forma puedes deducir toda la teoría: la media alpha / (alpha + beta), la varianza alpha·beta / ((alpha + beta)²(alpha + beta + 1)) que disminuye al crecer alpha + beta, y casos especiales como Beta(1, 1), que es exactamente la distribución uniforme. Variar alpha y beta en la calculadora es la forma más rápida de ver esa flexibilidad en acción.