ベータ分布の確率計算ツール｜α・β・x から PDF と CDF を一括算出

形状母数 α・β と評価点 x の 3 つを入力するだけで、ベータ分布 Beta(α, β) の確率密度 f(x)、累積分布 F(x)、平均、分散、最頻値、標準偏差を同時に求める計算ツール。ベイズ推論の事後分布チェックや品質管理の合格率推定にそのまま使える。

💡 このツールについて

ベータ分布は 0〜1 の区間に値を取る連続確率分布で、確率そのものや比率・割合をモデル化するときに登場する。とくにベイズ推論ではベルヌーイ分布・二項分布の共役事前分布として有名で、コイン投げの成功率を推定するときに Beta(成功回数+1, 失敗回数+1) という形で事後分布を組み立てる。

手計算では確率密度関数に出てくるベータ関数 B(α, β) の評価が面倒で、累積分布 F(x) に至っては正則化不完全ベータ関数という閉じた式のない積分を扱う必要がある。このツールは Lanczos 近似による対数ガンマ関数と連分数展開による不完全ベータ関数を組み合わせ、α・β・x を入れるだけで 6 つの統計量をまとめて返す。形状母数を少しずつ動かして分布の形がどう変わるかを追いたい統計検定の学習者や、A/B テストの事後分布を素早く確認したいデータ分析担当に向く。

🧐 よくある質問

Q. α と β は何を表しますか？ A. どちらも分布の形を決める形状母数。α が大きいほど確率の山が 1 寄りに、β が大きいほど 0 寄りに引っ張られる。α と β の和が大きいほど分布は鋭く尖る。

Q. x にはどんな値を入れますか？ A. 確率を評価したい点で、0 から 1 の範囲。ベータ分布は [0, 1] の外では確率密度が 0 なので、範囲外の入力は自動で 0 または 1 に丸められる。

Q. 最頻値が「0, 1」や「0-1」と表示されるのはなぜですか？ A. 最頻値の公式 (α-1)/(α+β-2) は α>1 かつ β>1 のときだけ内部に山がある。α<1 かつ β<1 なら両端（0 と 1）が最頻、α=β=1 なら一様分布で区間全体が最頻になるため、その旨を表示している。

Q. 確率密度 f(x) が 1 を超えることがありますが、間違いですか？ A. 間違いではない。確率密度は確率そのものではなく、面積（積分）が確率になる量なので、狭い区間に集中する分布では密度が 1 を超える。0〜1 に収まるのは累積分布 F(x) の方。

Q. ベイズの事後分布はどう求めますか？ A. 事前分布を Beta(α, β)、観測で成功 s 回・失敗 f 回なら、事後分布は Beta(α+s, β+f)。この α・β を入力すれば事後の平均や分布の中心の手がかりが得られる。

📚 ベータ分布と統計検定の豆知識

ベータ分布は統計検定 1 級でも期待値・分散の導出が定番問題として出る。平均 α/(α+β) と分散 αβ/((α+β)²(α+β+1)) はベータ関数の性質から導けるが、試験では Γ(α+1)=αΓ(α) というガンマ関数の漸化式を使って積分を 1 つずらすのが定石になっている。

ベイズ統計でベータ分布が重宝されるのは「共役事前分布」という性質のためで、二項分布の尤度を掛けても分布の種類が変わらず、事後分布もまたベータ分布になる。この閉じた更新ができるおかげで、新しいデータが来るたびに α と β を足し込むだけで推定を更新できる。逐次的にコイン投げの結果を反映していくイメージで、機械学習のオンライン学習にも通じる考え方になっている。