Calculatrice de probabilité de la loi bêta | PDF, CDF et 4 statistiques

Saisissez les paramètres de forme alpha et beta ainsi qu'un point d'évaluation x, et obtenez la densité f(x), la probabilité cumulée F(x), la moyenne, la variance, le mode et l'écart-type de Bêta(alpha, beta) dans un seul panneau.

💡 À propos de cet outil

La loi bêta est définie sur l'intervalle [0, 1], ce qui en fait le modèle naturel des probabilités, des proportions et des taux. En statistique bayésienne, elle apparaît comme la loi a priori conjuguée de la loi binomiale : à partir d'un a priori Bêta(alpha, beta), en observant s succès et f échecs, la loi a posteriori est simplement Bêta(alpha + s, beta + f).

La difficulté à la main vient de la répartition, car la fonction bêta incomplète régularisée I_x(alpha, beta) n'a pas de forme close. Cet outil l'évalue avec une approximation logarithmique de la fonction gamma (Lanczos) et une fraction continue, puis renvoie six statistiques d'un coup pour faire varier alpha et beta et observer le changement de forme sans tout recalculer.

🧐 Questions fréquentes

Que contrôlent alpha et beta ? Alpha déplace la masse de probabilité vers 1 et beta la déplace vers 0. Leur somme contrôle la concentration : plus alpha + beta est grand, plus le pic autour de la moyenne alpha / (alpha + beta) est étroit et pointu.

Pourquoi la densité f(x) peut-elle dépasser 1 ? Une densité n'est pas une probabilité. Seule l'aire sous la courbe vaut 1, donc une loi concentrée sur un intervalle étroit peut avoir une densité supérieure à 1. La valeur bornée entre 0 et 1 est la répartition F(x).

Comment lire ceci comme une loi a posteriori ? Prenez alpha comme succès + 1 et beta comme échecs + 1 issus de votre a priori et de vos données. La moyenne alpha / (alpha + beta) est votre estimation ponctuelle du taux, et la largeur de la courbe indique votre niveau de certitude.

Pourquoi le mode affiche-t-il parfois « 0, 1 » ou « 0-1 » ? La formule du mode (alpha - 1) / (alpha + beta - 2) ne donne un pic intérieur que si alpha et beta dépassent 1. Si les deux sont inférieurs à 1, la masse s'accumule aux bornes, et si alpha = beta = 1 la loi est uniforme ; l'outil le signale au lieu d'afficher une seule valeur trompeuse.

Que se passe-t-il si x sort de l'intervalle 0 à 1 ? La loi bêta a une densité nulle hors de [0, 1], donc tout x hors limites est ramené à la borne la plus proche avant le calcul des statistiques.

📚 La reparamétrisation par la moyenne

Dans les cours de statistique bayésienne, on présente souvent la loi bêta autrement que par alpha et beta : on peut la reparamétrer par sa moyenne θ et un paramètre de concentration λ, sous la forme Bêta(λθ, λ(1 − θ*)). Cette écriture sépare clairement « où se situe le centre » de « à quel point la croyance est précise ».

Cette double lecture explique sa popularité comme a priori. Dans un modèle où chaque observation suit une loi de Bernoulli de paramètre θ et où θ suit une loi Bêta(a, b), l'a posteriori reste une loi bêta : il suffit d'ajouter les succès à a et les échecs à b. Faire varier alpha et beta dans la calculatrice rend cette mise à jour conjuguée immédiatement visible.