Calculadora de probabilidade da distribuição beta | PDF, CDF e 4 estatísticas

Informe os parâmetros de forma alpha e beta junto com um ponto de avaliação x e obtenha a densidade f(x), a probabilidade acumulada F(x), a média, a variância, a moda e o desvio padrão de Beta(alpha, beta) em um único painel.

💡 Sobre esta ferramenta

A distribuição beta é definida no intervalo [0, 1], o que a torna o modelo natural para probabilidades, proporções e taxas. Em estatística bayesiana ela aparece como a distribuição a priori conjugada da binomial: partindo de um prior Beta(alpha, beta) e observando s sucessos e f fracassos, a distribuição a posteriori é simplesmente Beta(alpha + s, beta + f).

O trabalhoso à mão é a acumulada, porque a função beta incompleta regularizada I_x(alpha, beta) não tem forma fechada. Esta calculadora a avalia com uma aproximação logarítmica da função gama (Lanczos) e uma fração contínua, e retorna seis estatísticas de uma vez para você variar alpha e beta e acompanhar a mudança de forma da curva.

🧐 Perguntas frequentes

O que alpha e beta controlam? Alpha desloca a massa de probabilidade para 1 e beta a desloca para 0. A soma alpha + beta controla a concentração: quanto maior a soma, mais estreito e pontudo é o pico em torno da média alpha / (alpha + beta).

Por que a densidade f(x) pode ser maior que 1? Uma densidade não é uma probabilidade. Apenas a área sob a curva integra a 1, então uma distribuição concentrada num intervalo estreito pode ter densidade acima de 1. O valor limitado entre 0 e 1 é a acumulada F(x).

Como leio isto como distribuição a posteriori? Tome alpha como sucessos + 1 e beta como fracassos + 1 a partir do seu prior e dos dados. A média alpha / (alpha + beta) é a estimativa pontual da taxa, e a largura da curva indica o quanto você pode confiar nela.

Por que a moda às vezes mostra "0, 1" ou "0-1"? A fórmula da moda (alpha - 1) / (alpha + beta - 2) só dá um pico interior quando alpha e beta passam de 1. Se ambos são menores que 1, a massa se acumula nos extremos, e se alpha = beta = 1 a distribuição é uniforme, então a ferramenta sinaliza isso em vez de exibir um único valor enganoso.

E se x ficar fora de 0 a 1? A distribuição beta tem densidade zero fora de [0, 1], então qualquer x fora do intervalo é ajustado para o limite mais próximo antes de calcular as estatísticas.

📚 A beta em testes A/B

Uma forma prática de entender a distribuição beta é pensá-la como a incerteza em torno de uma taxa de conversão. Um botão com 8 cliques em 40 exibições não é exatamente 20%: é Beta(9, 33), uma curva com largura que reflete o tamanho da amostra. Comparar duas variantes vira comparar quanto de uma curva fica acima da outra.

Essa atualização autossemelhante — prior beta entra, posterior beta sai — é o que a torna um prior conjugado e o motivo de tantos frameworks de teste sequencial a usarem. Cada novo lote de dados apenas soma a alpha e beta, então a estimativa continua se refinando sem nunca sair da família beta nem exigir uma nova integral.