Calculadora de probabilidade da distribuição gama｜PDF, CDF e sobrevivência a partir da forma k e da escala θ

Informe o parâmetro de forma k, o parâmetro de escala θ e um ponto x para obter a densidade f(x), a probabilidade acumulada F(x) e a sobrevivência 1−F(x) de uma só vez. Média, variância, desvio padrão e moda ficam no mesmo painel, então você lê as probabilidades de cauda sem trocar de tela.

💡 Sobre esta ferramenta

A distribuição gama modela grandezas contínuas positivas com cauda à direita: o tempo até o k-ésimo evento de um processo de Poisson, a vida de um componente até a falha ou a soma de várias esperas. Sempre que a forma k e a escala θ são conhecidas, esta calculadora as converte em uma densidade pontual e uma probabilidade de cauda.

No cálculo manual, a densidade f(x) = x^(k-1) e^(-x/θ) / (θ^k Γ(k)) traz a função gama Γ(k), incômoda quando k não é inteiro. A ferramenta calcula Γ(k) por uma aproximação log-gama (Lanczos) e obtém a CDF com a função gama incompleta inferior regularizada, alternando entre expansão em série e fração contínua conforme o valor de x. Assim os resultados permanecem estáveis para k pequenos e grandes.

🧐 Perguntas frequentes

O que a forma k e a escala θ controlam? A forma k define a assimetria da curva e a escala θ a estica na horizontal. Um k maior aproxima a forma da simetria; um θ maior espalha a distribuição e alonga a espera típica. A média é kθ e a variância é kθ².

Trabalho com uma taxa, não com uma escala. Como informo? Na parametrização por taxa com taxa β, a escala é θ = 1/β. Se você raciocina em taxas, informe 1/β como θ. A parametrização em uso também aparece indicada abaixo da fórmula.

A PDF pode passar de 1? Pode. Em uma distribuição contínua, f(x) é uma densidade, não uma probabilidade, então pode ultrapassar 1 quando θ é pequeno. Para ler uma probabilidade real, use a acumulada F(x) ou a sobrevivência 1−F(x).

O que acontece quando k = 1? Uma distribuição gama com forma k = 1 reduz-se a uma distribuição exponencial de média θ. Ela descreve a espera até o primeiro evento.

Por que a moda aparece como 0? A moda é calculada como (k−1)θ quando k ≥ 1. Para k menor que 1, a densidade é máxima perto de x = 0, então a ferramenta mostra 0.

📚 A distribuição gama na engenharia de confiabilidade

Na engenharia de confiabilidade, a distribuição gama é uma das distribuições de vida usadas para descrever o tempo até a falha de um componente ou sistema. A sobrevivência 1−F(x), exibida em destaque nesta ferramenta, corresponde diretamente à função de confiabilidade R(x): a probabilidade de o item ainda estar operando depois de um tempo x.

A leitura por forma e escala tem um significado físico útil nesse contexto. Quando a forma k é um número inteiro, a distribuição equivale à soma de k esperas exponenciais independentes — o caso conhecido como distribuição de Erlang — e modela bem sistemas em que a falha só ocorre após várias etapas ou vários componentes em série terem cumprido sua vida. A escala θ marca a duração média de cada etapa, de modo que a vida média kθ cresce de forma proporcional ao número de estágios. Por isso a distribuição gama aparece com frequência em ensaios de vida, manutenção preventiva e estudos de tempo entre falhas.