Calculadora de probabilidad de la distribución gamma｜PDF, CDF y supervivencia desde forma k y escala θ

Introduce el parámetro de forma k, el parámetro de escala θ y un punto x para obtener la densidad f(x), la probabilidad acumulada F(x) y la supervivencia 1−F(x) a la vez. La media, la varianza, la desviación típica y la moda aparecen en el mismo panel, de modo que puedes leer las probabilidades de cola sin cambiar de pantalla.

💡 Sobre esta herramienta

La distribución gamma modela cantidades continuas positivas con sesgo a la derecha: el tiempo hasta el k-ésimo evento de un proceso de Poisson, la vida útil de un componente hasta que falla o la suma de varias esperas. Cuando conoces la forma k y la escala θ, esta calculadora las convierte en una densidad puntual y una probabilidad de cola.

A mano, la densidad f(x) = x^(k-1) e^(-x/θ) / (θ^k Γ(k)) incluye la función gamma Γ(k), incómoda cuando k no es entero. La herramienta calcula Γ(k) mediante una aproximación log-gamma (Lanczos) y obtiene la CDF con la función gamma incompleta inferior regularizada, alternando entre una expansión en serie y una fracción continua según el valor de x. Así los resultados se mantienen estables tanto para k pequeños como grandes.

🧐 Preguntas frecuentes

¿Qué controlan la forma k y la escala θ? La forma k define la asimetría de la curva y la escala θ la estira en horizontal. Un k mayor acerca la forma a la simetría; un θ mayor extiende la distribución y alarga la espera típica. La media es kθ y la varianza es kθ².

Trabajo con una tasa, no con una escala. ¿Cómo la introduzco? En la parametrización por tasa con tasa β, la escala es θ = 1/β. Si razonas en tasas, introduce 1/β como θ. La parametrización empleada también aparece indicada bajo la fórmula.

¿Puede la PDF superar 1? Sí. En una distribución continua, f(x) es una densidad, no una probabilidad, por lo que puede pasar de 1 cuando θ es pequeño. Para leer una probabilidad real, usa la acumulada F(x) o la supervivencia 1−F(x).

¿Qué ocurre cuando k = 1? Una distribución gamma con forma k = 1 se reduce a una distribución exponencial de media θ. Describe la espera hasta el primer evento.

¿Por qué la moda muestra 0? La moda se calcula como (k−1)θ cuando k ≥ 1. Para k menor que 1 la densidad es máxima cerca de x = 0, así que la herramienta indica 0.

📚 Por qué la forma y la escala se separan

Una fuente habitual de errores al aprender la distribución gamma es mezclar la parametrización por escala (k, θ) con la parametrización por tasa (k, β), donde β = 1/θ. Las dos describen la misma curva, pero introducir una tasa donde se espera una escala invierte por completo la dispersión. Por eso conviene fijar primero qué representa cada número antes de calcular.

Separar forma y escala tiene además una lectura intuitiva: la forma k cuenta «cuántos pasos» acumula el fenómeno, mientras que la escala θ marca «cuánto dura cada paso». Cuando k es un número entero, la distribución equivale a sumar k esperas exponenciales independientes —el caso conocido como distribución de Erlang—, lo que explica por qué la media kθ crece de forma proporcional a ambos factores. Visualizar la curva con distintos valores de k y θ es uno de los ejercicios más útiles para entender cómo una sola familia de distribuciones abarca desde formas muy asimétricas hasta casi simétricas.