Calculateur de probabilité de la loi gamma｜PDF, CDF et survie depuis la forme k et l’échelle θ

Saisissez le paramètre de forme k, le paramètre d’échelle θ et un point x pour obtenir la densité f(x), la probabilité cumulée F(x) et la survie 1−F(x) en une fois. La moyenne, la variance, l’écart-type et le mode figurent dans le même panneau, ce qui permet de lire les probabilités de queue sans changer d’écran.

💡 À propos de cet outil

La loi gamma modélise des grandeurs continues positives à queue étalée vers la droite : le temps jusqu’au k-ième événement d’un processus de Poisson, la durée de vie d’un composant avant défaillance ou la somme de plusieurs attentes. Dès que la forme k et l’échelle θ sont connues, ce calculateur les convertit en une densité ponctuelle et une probabilité de queue.

À la main, la densité f(x) = x^(k-1) e^(-x/θ) / (θ^k Γ(k)) fait intervenir la fonction gamma Γ(k), peu commode lorsque k n’est pas entier. L’outil calcule Γ(k) via une approximation log-gamma (Lanczos) et obtient la CDF avec la fonction gamma incomplète inférieure régularisée, en alternant un développement en série et une fraction continue selon la valeur de x. Les résultats restent ainsi stables pour de petits comme de grands k.

🧐 Questions fréquentes

Que contrôlent la forme k et l’échelle θ ? La forme k fixe l’asymétrie de la courbe et l’échelle θ l’étire horizontalement. Un k plus grand rapproche la forme de la symétrie ; un θ plus grand étale la distribution et allonge l’attente typique. La moyenne vaut kθ et la variance kθ².

Je raisonne en taux, pas en échelle. Comment le saisir ? Dans le paramétrage par taux avec taux β, l’échelle vaut θ = 1/β. Si vous raisonnez en taux, saisissez 1/β comme θ. Le paramétrage employé est aussi rappelé sous la formule.

La PDF peut-elle dépasser 1 ? Oui. Pour une loi continue, f(x) est une densité et non une probabilité ; elle peut dépasser 1 lorsque θ est petit. Pour lire une probabilité réelle, utilisez la cumulée F(x) ou la survie 1−F(x).

Que se passe-t-il pour k = 1 ? Une loi gamma de forme k = 1 se réduit à une loi exponentielle de moyenne θ. Elle décrit alors l’attente jusqu’au premier événement.

Pourquoi le mode affiche-t-il 0 ? Le mode est calculé comme (k−1)θ lorsque k ≥ 1. Pour k inférieur à 1, la densité est maximale près de x = 0, l’outil affiche donc 0.

📚 De la loi gamma à la loi d’Erlang

Lorsque la forme k est un entier positif, la loi gamma porte aussi le nom de loi d’Erlang : la somme de k attentes exponentielles indépendantes, soit le temps jusqu’à l’arrivée du k-ième événement. Pour k = 1, elle se ramène à une seule attente exponentielle.

Ce nom vient d’Agner Krarup Erlang, qui étudia au début du XXe siècle le nombre d’appels simultanés arrivant à un central téléphonique au Danemark. Ce problème de files d’attente a fondé toute une discipline : la même loi sert aujourd’hui à dimensionner les centres d’appels, à modéliser le temps avant défaillance de systèmes à plusieurs étages et à raisonner sur l’attente dans n’importe quelle file multiserveur. Un bel exemple d’un pilier de la théorie de la fiabilité né devant un standard téléphonique.