Calculateur d'approximation de Stirling de la fonction gamma | Γ(x) et log Γ(x) par une série à 5 termes
Calculez Γ(x) pour tout réel x ≥ 0,5 à l'aide d'une série de Stirling à cinq termes, avec log₁₀ Γ(x), le terme principal √(2π/x)·(x/e)ˣ et le pourcentage de gain apporté par les termes de correction.
💡 À propos de cet outil
La fonction gamma prolonge la factorielle aux non-entiers, avec la relation Γ(n) = (n−1)!. Quiconque a croisé la formule de Stirling en analyse sait que le terme principal convient pour les grands arguments mais s'écarte sensiblement pour les petits x. La plupart des calculateurs se contentent d'afficher un nombre, sans indiquer d'où il vient ni sa fiabilité.
Cet outil garde les deux versions sous les yeux. Il calcule le terme principal √(2π/x)·(x/e)ˣ et la valeur affinée par la série asymptotique 1 + 1/12x + 1/288x² − 139/51840x³ − 571/2488320x⁴, puis affiche l'écart sous forme de pourcentage d'apport. La série devient ainsi lisible : la correction s'amenuise à mesure que x grandit, et pour x ≥ 5 l'erreur relative passe sous 10⁻⁶. Pour les grands arguments, la valeur est obtenue par voie logarithmique afin de fournir log₁₀ Γ(x) sans dépassement.
🧐 Questions fréquentes
Un x entier donne-t-il une factorielle ? Oui. Puisque Γ(n) = (n−1)!, saisir x=5 renvoie Γ(5) = 4! = 24. Les entiers servent à confronter l'approximation à une valeur exacte.
Pourquoi x commence-t-il à 0,5 ? La série asymptotique de Stirling est la moins précise pour les petits arguments. En dessous de 0,5, même cinq termes perdent en exactitude, d'où le plancher pratique fixé à 0,5.
Pourquoi le champ numérique va-t-il jusqu'à 170 alors que le curseur s'arrête à 50 ? Γ(x) croît de façon explosive et dépasse la double précision IEEE vers x ≈ 171. Le curseur reste à 50 pour un glissement confortable ; le champ numérique couvre la plage plus large jusqu'à 170.
L'apport de la correction peut-il être négatif ? Non. Les troisième et quatrième coefficients sont négatifs, mais le terme principal 1/12x domine sur toute la plage prise en charge (x ≥ 0,5) ; la valeur améliorée reste donc toujours légèrement au-dessus du terme de base et l'apport demeure positif — environ +15 % à x = 0,5, se rapprochant de 0 quand x augmente.
À quoi sert log₁₀ Γ(x) ? Lorsque Γ(x) atteint des ordres de grandeur astronomiques, l'ordre de grandeur est plus parlant que la valeur brute. Le log-gamma revient sans cesse dans les log-vraisemblances des lois de probabilité et la grande combinatoire.
📚 Le saviez-vous
La formule de Stirling porte le nom de James Stirling, mais Abraham de Moivre avait dérivé le premier la partie asymptotique principale, ce qui explique l'appellation formule de De Moivre–Stirling dans certains ouvrages. Les dénominateurs de la correction — 12, 288, 51840 — descendent des nombres de Bernoulli, et la série est notoirement divergente : elle ne converge jamais, quel que soit le nombre de termes ajoutés. Pour chaque x il existe un rang de troncature optimal, et le dépasser dégrade le résultat, signature des développements asymptotiques.