Calculadora de aproximação de Stirling da função gama | Γ(x) e log Γ(x) com uma série de 5 termos

Calcule Γ(x) para qualquer real x ≥ 0,5 por meio de uma série de Stirling de cinco termos, junto com log₁₀ Γ(x), o termo principal √(2π/x)·(x/e)ˣ e o percentual de ganho que os termos de correção acrescentam.

💡 Sobre esta ferramenta

A função gama estende o fatorial aos não inteiros, com a relação Γ(n) = (n−1)!. Quem já topou com a fórmula de Stirling em análise sabe que o termo principal serve para argumentos grandes, mas se desvia bastante para valores pequenos de x. A maioria das calculadoras apenas devolve um número, sem mostrar de onde ele vem nem o quanto é confiável.

Esta ferramenta mantém as duas versões na tela. Calcula o termo principal √(2π/x)·(x/e)ˣ e o valor refinado pela série assintótica 1 + 1/12x + 1/288x² − 139/51840x³ − 571/2488320x⁴, e imprime a diferença como percentual de ganho. Assim a série fica visível: a correção diminui conforme x cresce, e para x ≥ 5 o erro relativo cai abaixo de 10⁻⁶. Para argumentos grandes, o valor é obtido por via logarítmica para reportar log₁₀ Γ(x) sem estouro.

🧐 Perguntas frequentes

Um x inteiro dá um fatorial? Sim. Como Γ(n) = (n−1)!, inserir x=5 retorna Γ(5) = 4! = 24. Os inteiros servem para conferir a aproximação contra um valor exato.

Por que x começa em 0,5? A série assintótica de Stirling é menos precisa para argumentos pequenos. Abaixo de 0,5, mesmo cinco termos perdem exatidão, então 0,5 é o piso prático.

Por que o campo numérico vai até 170, mas o deslizante para em 50? Γ(x) cresce de forma explosiva e estoura a precisão dupla IEEE perto de x ≈ 171. O deslizante fica em 50 para arrastar com conforto; o campo numérico cobre a faixa maior até 170.

O ganho da correção pode ser negativo? Não. O terceiro e o quarto coeficientes são negativos, mas o termo principal 1/12x domina em toda a faixa suportada (x ≥ 0,5), então o valor melhorado fica sempre um pouco acima do termo básico e o ganho permanece positivo — cerca de +15% em x = 0,5, aproximando-se de 0 conforme x cresce.

Para que serve log₁₀ Γ(x)? Quando Γ(x) atinge magnitudes astronômicas, a ordem de grandeza é mais útil do que o valor bruto. O log-gama aparece o tempo todo em log-verossimilhanças de distribuições de probabilidade e em combinatória grande.

📚 Curiosidades

A fórmula de Stirling leva o nome de James Stirling, mas Abraham de Moivre deduziu antes a parte assintótica principal, razão pela qual alguns textos a chamam de fórmula de De Moivre–Stirling. Os denominadores da correção — 12, 288, 51840 — descendem dos números de Bernoulli, e a série é notoriamente divergente: nunca converge, por mais termos que se somem. Para cada x existe um ponto ótimo de truncamento, e ultrapassá-lo piora o resultado, marca registrada das expansões assintóticas.