Calculadora de aproximación de Stirling de la función gamma | Γ(x) y log Γ(x) con una serie de 5 términos
Calcula Γ(x) para cualquier real x ≥ 0,5 mediante una serie de Stirling de cinco términos, junto con log₁₀ Γ(x), el término principal √(2π/x)·(x/e)ˣ y el porcentaje de mejora que aportan los términos de corrección.
💡 Sobre esta herramienta
La función gamma extiende el factorial a los no enteros, con la relación Γ(n) = (n−1)!. Si has estudiado análisis y te has encontrado con la fórmula de Stirling, sabes que el término principal funciona bien para argumentos grandes pero se desvía con valores pequeños de x. La mayoría de las calculadoras solo devuelven un número, sin mostrar de dónde sale ni cuán fiable es.
Esta herramienta mantiene ambas versiones a la vista. Calcula el término principal √(2π/x)·(x/e)ˣ y el valor refinado con la serie asintótica 1 + 1/12x + 1/288x² − 139/51840x³ − 571/2488320x⁴, e imprime la diferencia como porcentaje de ganancia. Así la serie se vuelve visible: la corrección se reduce a medida que x crece, y para x ≥ 5 el error relativo cae por debajo de 10⁻⁶. Para argumentos grandes, el valor se obtiene por vía logarítmica para reportar log₁₀ Γ(x) sin desbordamiento.
🧐 Preguntas frecuentes
¿Un x entero me da un factorial? Sí. Como Γ(n) = (n−1)!, introducir x=5 devuelve Γ(5) = 4! = 24. Los enteros sirven para contrastar la aproximación con un valor exacto.
¿Por qué x empieza en 0,5? La serie asintótica de Stirling es menos precisa con argumentos pequeños. Por debajo de 0,5 incluso cinco términos pierden exactitud, así que 0,5 es el límite práctico.
¿Por qué el campo numérico llega a 170 pero el deslizador se detiene en 50? Γ(x) crece de forma explosiva y desborda la doble precisión IEEE cerca de x ≈ 171. El deslizador se queda en 50 para arrastrar con comodidad; el campo numérico cubre el rango mayor hasta 170.
¿La ganancia por corrección puede ser negativa? No. El tercer y el cuarto coeficiente son negativos, pero el término principal 1/12x domina en todo el rango admitido (x ≥ 0,5), así que el valor mejorado siempre queda algo por encima del término básico y la ganancia se mantiene positiva: cerca de +15 % en x = 0,5 y acercándose a 0 cuando x crece.
¿Para qué sirve log₁₀ Γ(x)? Cuando Γ(x) alcanza magnitudes astronómicas, el orden de magnitud es más útil que el valor en bruto. El log-gamma aparece constantemente en log-verosimilitudes de distribuciones de probabilidad y en combinatoria grande.
📚 Datos curiosos
La fórmula de Stirling lleva el nombre de James Stirling, pero Abraham de Moivre dedujo antes la parte asintótica principal, por lo que algunos textos la llaman fórmula de De Moivre–Stirling. Los denominadores de la corrección —12, 288, 51840— provienen de los números de Bernoulli, y la serie es célebremente divergente: nunca converge por muchos términos que se sumen. Para cada x existe un punto óptimo de truncamiento, y pasarse de él empeora el resultado, rasgo característico de los desarrollos asintóticos.