Calculadora de probabilidade log-normal | PDF, CDF e indicadores a partir de μ, σ, x

Quando ln x segue uma distribuição normal, o valor original x segue uma distribuição log-normal. Informe μ, σ e x para obter a densidade (PDF), a probabilidade acumulada (CDF) e ainda a média, a mediana, a moda e o desvio-padrão em um único painel.

💡 Sobre esta ferramenta

Retornos da bolsa, rendas, diâmetros de partícula, tamanhos de arquivo: todos compartilham um formato. São sempre positivos e assimétricos, com uma cauda longa à direita. A curva em sino da normal não serve aqui, pois atribuiria probabilidade a valores negativos que não fazem sentido para um preço ou um tamanho. A log-normal é a resposta clássica.

A dificuldade está na conta. A densidade combina x, σ e √(2π) dentro de uma exponencial, e a acumulada exige a função de distribuição normal padrão Φ, aquela que antes se procurava na tabela z. Há ainda uma armadilha: os parâmetros μ e σ não são a média nem o desvio de x, mas os de ln x. Tomar μ como "a média" é o engano mais comum.

Esta calculadora recebe μ, σ e x e exibe a densidade e a acumulada ao lado dos indicadores reais: média E[X] = exp(μ + σ²/2), mediana exp(μ) e moda exp(μ − σ²). Ver a ordem moda < mediana < média transforma a assimetria à direita em três números que você compara de imediato.

🧐 Perguntas frequentes

μ e σ são a média e o desvio-padrão de x? Não. μ e σ descrevem ln x (o logaritmo natural de x), e não x. A média de x é outra grandeza, exp(μ + σ²/2), mostrada aqui como "Média E[X]". É a confusão mais frequente com a log-normal.

O que acontece se eu colocar μ = 0? A mediana exp(μ) vale exp(0) = 1. Ao mudar σ, a mediana permanece fixa em 1 enquanto a média e a moda se deslocam, o que isola o efeito de σ sobre a dispersão.

Por que média, mediana e moda não coincidem? Porque a distribuição é assimétrica. Alguns poucos valores grandes puxam a média para cima, gerando a ordem moda < mediana < média. Quanto maior o σ, maior é essa diferença.

Que valor devo colocar em x? Qualquer número maior que zero: um preço, um diâmetro, um valor. Valores zero ou negativos não são definidos numa log-normal, então a ferramenta os ajusta para um mínimo positivo.

O que o valor da CDF indica? A probabilidade de X ser menor ou igual ao seu x. Uma CDF de 0,79 significa que cerca de 79% dos dados caem em x ou abaixo. A forma em porcentagem aparece ao lado.

📚 De onde vem a log-normal

A intuição é direta: ao somar muitos efeitos aleatórios pequenos, surge uma distribuição normal; ao multiplicá-los, surge uma log-normal. Essa lógica multiplicativa foi esboçada por Galton e McAlister já em 1879, reformulada por Kapteyn em 1903 e consolidada pelo economista Gibrat em 1931 com sua "lei do efeito proporcional".

Isso explica sua presença em tantas áreas. Em finanças quantitativas, ela sustenta o modelo de Black-Scholes, pois os preços se compõem por variações percentuais, e não por passos fixos. Em ciências ambientais, descreve tamanhos de partícula, já que sedimentação e coagulação agem de modo multiplicativo. Há até evidências de que a renda de cerca de 97–99% de uma população segue uma curva log-normal. Sempre que uma grandeza só pode ser positiva e cresce por proporções, esta é a distribuição certa, e o motivo pelo qual a média simples engana com tanta frequência.