Calculadora de probabilidad log-normal | PDF, CDF y estadísticos a partir de μ, σ, x
Cuando ln x sigue una distribución normal, el valor original x sigue una distribución log-normal. Introduce μ, σ y x para obtener la densidad (PDF), la probabilidad acumulada (CDF) y, además, la media, la mediana, la moda y la desviación típica en un solo panel.
💡 Sobre esta herramienta
Rendimientos bursátiles, ingresos, diámetros de partícula, tamaños de archivo: todos comparten una forma. Son siempre positivos y están sesgados hacia la derecha, con una cola larga. La campana normal no encaja aquí, porque asignaría probabilidad a valores negativos que no tienen sentido para un precio o un tamaño. La log-normal es la respuesta clásica a ese problema.
La dificultad está en el cálculo. La densidad combina x, σ y √(2π) dentro de una exponencial, y la acumulada exige la función de distribución normal estándar Φ, esa que antes se buscaba en la tabla z. Y hay una trampa conceptual: los parámetros μ y σ no son la media ni la desviación de x, sino las de ln x. Confundir μ con "el promedio" es el error más habitual.
Esta calculadora toma μ, σ y x y muestra la densidad y la acumulada junto a los estadísticos reales: media E[X] = exp(μ + σ²/2), mediana exp(μ) y moda exp(μ − σ²). Ver cómo se ordenan moda < mediana < media convierte el sesgo a la derecha en tres cifras que puedes comparar directamente.
🧐 Preguntas frecuentes
¿Son μ y σ la media y la desviación típica de x? No. μ y σ describen ln x (el logaritmo natural de x), no x. La media de x es otra cantidad, exp(μ + σ²/2), que aquí aparece como "Media E[X]". Es la confusión más frecuente con la log-normal.
¿Qué ocurre si pongo μ = 0? La mediana exp(μ) vale exp(0) = 1. Al cambiar σ, la mediana se queda fija en 1 mientras la media y la moda se mueven, lo que aísla el efecto de σ sobre la dispersión.
¿Por qué no coinciden media, mediana y moda? Porque la distribución es asimétrica. Unos pocos valores grandes elevan la media y se obtiene el orden moda < mediana < media. Cuanto mayor es σ, más se separan.
¿Qué valor debo poner en x? Cualquier número mayor que cero: un precio, un diámetro, una cantidad. Los valores de cero o negativos no están definidos en una log-normal, así que la herramienta los ajusta a un mínimo positivo.
¿Qué significa el valor de la CDF? La probabilidad de que X sea menor o igual que tu x. Una CDF de 0,79 indica que cerca del 79% de los datos caen en x o por debajo. El porcentaje se muestra al lado.
📚 De dónde sale la log-normal
La idea clave es sencilla: si sumas muchos efectos aleatorios pequeños obtienes una distribución normal; si los multiplicas, obtienes una log-normal. Esa lógica multiplicativa la esbozaron Galton y McAlister en 1879, la reformuló Kapteyn en 1903 y la formalizó el economista Gibrat en 1931 con su "ley del efecto proporcional".
Por eso aparece en tantos campos. En finanzas cuantitativas sostiene el modelo de Black-Scholes, ya que los precios se componen por variaciones porcentuales y no por pasos fijos. En ciencias ambientales describe tamaños de partícula, porque la sedimentación y la coagulación actúan de forma multiplicativa. Incluso se observa que los ingresos del 97–99% de una población se ajustan a una curva log-normal. Siempre que una magnitud solo pueda ser positiva y crezca por proporciones, esta es la distribución adecuada, y la razón por la que el promedio simple engaña tan a menudo.