Calculateur de probabilité log-normale | densité, répartition et indicateurs à partir de μ, σ, x
Lorsque ln x suit une loi normale, la valeur d'origine x suit une loi log-normale. Saisissez μ, σ et x pour obtenir la densité (PDF), la probabilité cumulée (CDF), ainsi que la moyenne, la médiane, le mode et l'écart-type dans un seul tableau.
💡 À propos de cet outil
Rendements boursiers, revenus, diamètres de particules, tailles de fichiers : tous partagent une même forme. Strictement positifs et asymétriques, ils traînent une longue queue à droite. La courbe en cloche normale convient mal, car elle attribuerait une probabilité à des valeurs négatives qui n'ont aucun sens pour un prix ou une taille. La loi log-normale est la réponse classique.
La difficulté tient au calcul. La densité mêle x, σ et √(2π) dans une exponentielle, et la fonction de répartition réclame Φ, la loi normale cumulée, celle qu'on cherchait autrefois dans une table de la loi normale. S'ajoute un piège : les paramètres μ et σ ne sont pas la moyenne ni l'écart-type de x, mais ceux de ln x. Prendre μ pour « la moyenne » est l'erreur la plus fréquente.
Cet outil prend μ, σ et x, puis affiche la densité et la répartition à côté des indicateurs réels : moyenne E[X] = exp(μ + σ²/2), médiane exp(μ) et mode exp(μ − σ²). Voir l'ordre mode < médiane < moyenne transforme l'asymétrie à droite en trois nombres directement comparables.
🧐 Questions fréquentes
μ et σ sont-ils la moyenne et l'écart-type de x ? Non. μ et σ décrivent ln x (le logarithme naturel de x), et non x. La moyenne de x est une autre grandeur, exp(μ + σ²/2), indiquée ici comme « Moyenne E[X] ». C'est la confusion la plus courante avec la loi log-normale.
Que se passe-t-il si je mets μ = 0 ? La médiane exp(μ) vaut exp(0) = 1. En modifiant σ, la médiane reste fixée à 1 tandis que la moyenne et le mode bougent, ce qui isole l'effet de σ sur la dispersion.
Pourquoi moyenne, médiane et mode diffèrent-ils ? Parce que la loi est asymétrique. Quelques grandes valeurs tirent la moyenne vers le haut, d'où l'ordre mode < médiane < moyenne. Plus σ est grand, plus l'écart se creuse.
Quelle valeur saisir pour x ? N'importe quel nombre supérieur à zéro : un prix, un diamètre, un montant. Les valeurs nulles ou négatives ne sont pas définies pour une loi log-normale, l'outil les ramène donc à un minimum positif.
Que signifie la valeur de la CDF ? La probabilité que X soit inférieure ou égale à votre x. Une CDF de 0,79 indique qu'environ 79 % des tirages tombent à x ou en dessous. Le pourcentage est affiché à côté.
📚 D'où vient la loi log-normale
L'intuition est limpide : additionnez de nombreux petits effets aléatoires, vous obtenez une loi normale ; multipliez-les, vous obtenez une loi log-normale. Cette logique multiplicative a été esquissée par Galton et McAlister dès 1879, reformulée par Kapteyn en 1903, puis fixée par l'économiste Gibrat en 1931 avec sa « loi de l'effet proportionnel ».
Cela explique son omniprésence. En finance quantitative, elle fonde le modèle de Black-Scholes, car les prix se composent par variations en pourcentage et non par pas fixes. En sciences de l'environnement, elle décrit les tailles de particules, la sédimentation et la coagulation agissant de manière multiplicative. On observe même que les revenus de 97 à 99 % d'une population suivent une courbe log-normale. Dès qu'une grandeur ne peut être que positive et croît par rapports, c'est la loi à retenir, et la raison pour laquelle la simple moyenne trompe si souvent.