Calculadora do Teorema de Bayes | Probabilidade posterior explicada

Arraste três controles deslizantes — probabilidade a priori, verossimilhança (sensibilidade) e taxa de falso positivo — e a calculadora aplica o teorema de Bayes para retornar a probabilidade posterior P(A|B) e a marginal P(B). Cada entrada vai de 0,01% a 99,99% em passos de 0,0001, ideal para explorar o regime de baixa prevalência.

💡 Sobre esta ferramenta

«O teste tem 99% de confiabilidade e deu positivo, então tenho 99% de chance de estar doente.» Essa intuição é falsa. A confiabilidade do teste (a sensibilidade) e a probabilidade real de estar doente dado um positivo (a posterior) são dois números distintos. O que os separa é a taxa base da doença: a probabilidade a priori, ou seja, sua prevalência na população.

Esta ferramenta permite mover os três parâmetros e ver a posterior se deslocar. Com prevalência de 1%, sensibilidade de 99% e taxa de falso positivo de 5%, a probabilidade posterior após um resultado positivo é de apenas 16,67%. Mesmo um teste excelente é dominado pelos falsos positivos quando o evento é raro — o paradoxo do falso positivo — visível na diferença de comprimento entre as duas barras.

Além da medicina, o mesmo esquema rege filtros de spam, interpretação de testes A/B e controle de qualidade: você observou uma evidência e precisa atualizar a probabilidade de uma hipótese.

🧐 Perguntas frequentes

Q. O que representam a priori, a verossimilhança e a taxa de falso positivo? A priori P(A) é a probabilidade da hipótese antes da evidência (a prevalência). A verossimilhança P(B|A), ou sensibilidade, é a probabilidade de observar a evidência quando a hipótese é verdadeira. A taxa de falso positivo P(B|¬A) é a probabilidade de observar a evidência mesmo quando a hipótese é falsa.

Q. Por que uma sensibilidade alta ainda gera uma posterior baixa? Quando a priori é muito baixa, o número absoluto de falsos positivos da grande maioria saudável supera os verdadeiros positivos dos poucos doentes. É a «negligência da taxa base», o erro que o teorema corrige.

Q. O que é a probabilidade marginal P(B)? É a probabilidade total de observar a evidência — verdadeiros mais falsos positivos — calculada por P(B|A)·P(A) + P(B|¬A)·(1−P(A)). É o denominador do teorema.

Q. Só conheço a especificidade. Posso convertê-la? Taxa de falso positivo = 1 − especificidade. Uma especificidade de 95% corresponde a uma taxa de falso positivo de 5%.

Q. Posso inserir probabilidades menores que 0,01%? O limite inferior do controle é 0,0001 (0,01%). Para eventos muito raros, aproxime esse mínimo.

📚 Deu positivo, e agora?

Há uma confusão comum entre a probabilidade de o teste dar positivo se você não estiver infectado e a probabilidade de não estar infectado se o teste der positivo. Ignorar a prevalência (a priori) é o que faz um bom teste ainda gerar muitos falsos positivos quando a doença é rara — exatamente o que a separação das duas barras mostra nesta calculadora.

Vale lembrar a origem: o resultado leva o nome do reverendo Thomas Bayes, foi publicado postumamente por seu amigo Richard Price e formalizado de forma independente por Pierre-Simon Laplace. Aplicações práticas vão de testes de HIV e gravidez ao rastreamento da COVID-19, onde a prevalência da condição afeta fortemente o valor preditivo do resultado. Deslizar a priori em direção a 0,01% reproduz esse efeito sempre que você quiser revê-lo.