Calculatrice du Théorème de Bayes | Probabilité a posteriori expliquée

Déplacez trois curseurs — probabilité a priori, vraisemblance (sensibilité) et taux de faux positifs — et la calculatrice applique le théorème de Bayes pour renvoyer la probabilité a posteriori P(A|B) et la marginale P(B). Chaque entrée varie de 0,01% à 99,99% par pas de 0,0001, ce qui permet d'explorer le domaine des faibles prévalences.

💡 À propos de cet outil

« Le test est fiable à 99% et il est positif, donc j'ai 99% de risque d'être malade. » Ce réflexe est faux. La fiabilité du test (la sensibilité) et la probabilité d'être réellement malade sachant un résultat positif (l'a posteriori) sont deux nombres distincts. Ce qui les sépare, c'est le taux de base de la maladie : la probabilité a priori, c'est-à-dire sa prévalence dans la population.

Cet outil sert à manipuler les trois paramètres et à observer comment l'a posteriori se déplace. Avec une prévalence de 1%, une sensibilité de 99% et un taux de faux positifs de 5%, la probabilité a posteriori après un test positif n'est que de 16,67%. Même un excellent test est submergé par les faux positifs lorsque l'événement est rare : c'est le problème des faux positifs, lisible dans l'écart de longueur entre les deux barres.

Au-delà de la médecine, le même schéma régit les filtres anti-spam, l'interprétation des tests A/B et le contrôle qualité : vous avez observé une preuve, et il faut mettre à jour la probabilité d'une hypothèse.

🧐 Questions fréquentes

Q. Que représentent la probabilité a priori, la vraisemblance et le taux de faux positifs ? La probabilité a priori P(A) est la probabilité de l'hypothèse avant toute preuve (la prévalence). La vraisemblance P(B|A), ou sensibilité, est la probabilité d'observer la preuve quand l'hypothèse est vraie. Le taux de faux positifs P(B|¬A) est la probabilité d'observer la preuve alors que l'hypothèse est fausse.

Q. Pourquoi une sensibilité élevée donne-t-elle une a posteriori faible ? Quand l'a priori est très faible, le nombre absolu de faux positifs issus de la grande majorité saine dépasse les vrais positifs des rares malades. C'est l'« oubli de la fréquence de base », l'erreur que le théorème corrige.

Q. Qu'est-ce que la probabilité marginale P(B) ? C'est la probabilité totale d'observer la preuve — vrais plus faux positifs — calculée par P(B|A)·P(A) + P(B|¬A)·(1−P(A)). C'est le dénominateur du théorème.

Q. Je ne connais que la spécificité. Puis-je la convertir ? Taux de faux positifs = 1 − spécificité. Une spécificité de 95% correspond à un taux de faux positifs de 5%.

Q. Puis-je saisir des probabilités inférieures à 0,01% ? La borne inférieure du curseur est 0,0001 (0,01%). Pour les événements très rares, approchez cette limite basse.

📚 Le théorème, outil du médecin

Le théorème de Bayes offre au médecin un cadre pour le diagnostic : un résultat de laboratoire « positif » ne signifie pas que le patient souffre de la maladie, car il faut tenir compte de la prévalence. Le cerveau ignore spontanément cette fréquence de base, et c'est précisément ce biais que la calculatrice rend visible.

Côté histoire, le résultat porte le nom du révérend Thomas Bayes, mais il fut publié à titre posthume par son ami Richard Price, puis formalisé indépendamment par Pierre-Simon Laplace. En faisant glisser l'a priori vers 0,01%, vous reproduisez à volonté le grand écart entre la fiabilité affichée d'un test et sa valeur prédictive réelle : la séparation des deux barres traduit visuellement ce que les manuels appellent la valeur prédictive positive.