Conversor de Fracciones y Decimales | Detecta el Periodo y Muestra el Número Mixto

Escribe un decimal y obtienes la fracción irreducible. Escribe una fracción y obtienes el decimal, expandido a cinco cifras. Al introducir 1/7 aparece 0,14285… (cinco cifras seguidas de … porque la división no termina); al introducir 7/3 la tarjeta de la fracción añade = 2 1/3 para que veas el número mixto sin un paso adicional.

💡 Sobre esta herramienta

Las calculadoras de bolsillo suelen recortar 1/7 a 0,142857142... y dejan que tú adivines dónde empieza y termina el periodo. Esta herramienta realiza la división larga durante cinco cifras decimales y muestra esas cifras tal cual, terminando con … cuando la división no termina. La etiqueta bajo la tarjeta del decimal (Decimal periódico / Decimal exacto / Entero) te dice de qué tipo de número se trata.

Así 1/3 se muestra como 0,33333…, 1/7 como 0,14285… y 1/6 como 0,16666… — cinco cifras seguidas de … para indicar que el mismo patrón continúa. En sentido inverso, al escribir 0,625 aparece 5/8; al escribir 10/8 la herramienta reduce con el máximo común divisor para mostrar 5/4 y añade el número mixto = 1 1/4 debajo. Todo se recalcula mientras escribes, así que puedes repasar una hoja entera de ejercicios sin borrar el cuadro.

La notación de decimales periódicos varía por país: los libros en español suelen usar un arco sobre el periodo (0,3̂) o una barra superior (0,3̄), los libros en inglés usan la barra, los libros japoneses ponen un punto sobre la primera y la última cifra del periodo (0,3̇) y los libros rusos usan paréntesis (0,(3)). Esta herramienta se mantiene neutral y muestra los dígitos crudos — al pasar la respuesta al cuaderno, conviértela a la notación de tu libro de texto.

La tarjeta de la fracción dibuja el resultado como una fracción apilada de verdad — numerador sobre una barra horizontal sobre el denominador, la notación estándar de los libros de matemáticas. La entrada se sigue escribiendo en formato 5/8 porque el teclado no tiene tecla de fracción, pero la pantalla la convierte a la forma con barra.

🧐 Preguntas frecuentes

P. ¿Puedo escribir directamente un número mixto, como 2 1/3? No. El campo espera una fracción en formato numerador/denominador o un decimal. Convierte primero el número mixto a fracción impropia (en este caso, 7/3). El número mixto aparece automáticamente debajo de la tarjeta de la fracción.

P. ¿Acepta valores negativos? Sí. -3/4, -0,75 y 7/-3 funcionan. El signo se traslada al numerador y se dibuja como un menos a la izquierda de la fracción apilada, así que 7/-3 equivale a -7/3.

P. ¿Puedo usar coma como separador decimal? Sí. 0,625 se interpreta igual que 0.625: la coma se sustituye por un punto antes de analizar el valor. Los separadores de miles no se admiten, así que evita escribir 1.234,5.

P. ¿Y las fracciones con periodos muy largos, como 1/97? La tarjeta del decimal muestra las primeras cinco cifras y añade … cuando la división no termina. 1/97 (periodo 96) aparece como 0,01030…. Internamente la herramienta sigue dividiendo hasta 60 cifras para decidir si el valor es periódico o exacto, así que la etiqueta Decimal periódico sigue siendo correcta aunque el periodo no quepa en pantalla.

P. ¿Qué pasa si divido entre cero o escribo algo que no es un número? Entradas como 1/0, abc o 1.2.3 se marcan como no válidas. Aparece un mensaje de error bajo el campo y las dos tarjetas muestran un guion hasta que corrijas el valor.

P. ¿Por qué 1/2 da 0,5 pero 1/3 da 0,33333…? Una fracción termina solo cuando su denominador (ya simplificado) no tiene más factores primos que 2 y 5. 1/2 y 1/8 terminan; 1/3, 1/7 o 1/11 no, porque 3, 7 y 11 son primos con 10.

📚 Por qué las fracciones con denominador 7, 11, 13 generan ciclos largos

El periodo de 1/n (con n primo distinto de 2 y 5) se decide por una propiedad muy concreta: el orden multiplicativo de 10 módulo n, es decir, el menor exponente k tal que 10^k − 1 es múltiplo de n. Para 1/7 ese exponente es 6, así que el periodo tiene 6 cifras: 142857. Para 1/11 es 2, y el periodo es 09. Para 1/13 también es 6, con periodo 076923. Para 1/17 el orden es 16, el máximo posible, y por eso 1/17 tiene un periodo de 16 dígitos: 0588235294117647.

Esto explica por qué los ejercicios escolares insisten tanto en denominadores como 7, 11 o 13: son los más pequeños que producen periodos largos y visualmente memorables, ideales para practicar la división larga sin que el ciclo se agote en una o dos cifras. La idea procede de la teoría elemental de números, concretamente del pequeño teorema de Fermat, que garantiza que para cualquier primo p distinto de 2 y 5 el periodo de 1/p divide a p − 1. Cuando coincide exactamente con p − 1 (como en 7, 17, 19, 23), se dice que p es un primo de reptend máximo en base 10.

Una consecuencia bonita: las seis cifras 142857 son cíclicas. Al multiplicarlas por 2, 3, 4, 5 o 6 obtienes una rotación de las mismas cifras (285714, 428571, 571428, 714285, 857142). Al multiplicarlas por 7 obtienes 999999, lo que es otra forma de comprobar que 0,142857142857… vale exactamente 1/7.